\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}


\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices \no 4 (théorème des valeurs intermédiaires)}}
\end{center}

\subsection{}
Résoudre l'équation $f(x)=0$ pour chacune des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=(x-3)(x+5)$\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
$x-3=0\Leftrightarrow x=3$ ; $x+5=0\Leftrightarrow x=-5$.\\
L'équation a deux solutions : -5 et 3 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~3\}}}$

\item $f(x)=x^2-9=0\Leftrightarrow x^3-3^2=0\Leftrightarrow (x+3)(x-3)=0$ (identité remarquable).\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~3\}}}$

\item $f(x)=x^2-7x=0\Leftrightarrow x(x-7)=0$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~7\}}}$

\item $f(x)=x^2-35x=0\Leftrightarrow x(x-35)=0$\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~35\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction définie sur $[-5~;~7]$ dont la courbe représentative est tracée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.65,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-3)(7,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-3)(7,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-3)(7,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{5}{-0.25*x^2+x/2+1.75}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-5,2)(-3,-2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](5,-2)(7,2)
\end{pspicture}
\end{center}
%Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et donner une encadrement entre deux entiers consécutifs de chacune d'entre elles.
Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses.\\
On voit qu'il y a quatre solutions.\\
Elles valent -4~;~-2~;~4~;~6 (plus précis que des encadrements par des intervalles !)

\subsection{}
Le tableau de variation d'une fonction continue $f$ est donné ci-dessous.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&3&&5\\
\filet
\m{\text{Variation de }f}&\h{6}&\d&-1&\c&\h{2}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
Déterminer le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle [-2~;~5] :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=0$.\\
Sur l'intervalle $[-2~;~3]$, $f(-2)=6>0$ et $f(3)=-1<0$.
Comme $f$ est continue, on eut appliquer le théorème de valeurs intermédiaires :\\
L'équation $f(x)=0$ admet (au moins une solution sur l'intervalle $[-2~;~3]$).\\ Comme $f$ est décroissante sur cet intervalle, la solution est unique.\\
De même, l'équation admet une solution unique sur l(intervalle $[3~;~5]$.
	
\item $f(x)=4$ a une seule solution sur l'intervalle $[-2~;~3]$

\item $f(x)=-3$ n'a pas de solution, car le minimum de $f$ est -1.
\end{enumerate}

\subsection{}
Le tableau de variation d'une fonction continue $f$ est donné ci-dessous.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&2&&5&&9\\
\filet
\m{f(x)}&-10&\c&\h{5}&\d&2,5&\c&\h{15}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
Déterminer le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle [-2~;~5] :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=-9$ n'a qu'une solution sur l'intervalle $[-5~;~2]$ car $f$ est continue sur cet intervalle, $f(-5)<-9$ et $f(2)>-9$. De plus, $f$ est monotone sur cet intervalle.\\
Sur $[2~;~9]$, $f(x)\geqslant 2,5$ donc l'équation $f(x)=-9$ n'a pas de solution.

\item $f(x)=3$ a trois solutions, une dans chacun des intervalles $[-5~;~2]$, $[2~;~5]$ et $[5~;~9]$.

\item $f(x)=18$ n'a pas de solution, car le maximum de $f$ est 15 sur l'intervalle $[-5~;~9]$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction continue sur [-3~;~4].\\
On sait que $f(-3)=-2$ et $f(4)=5$.\\
%Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans [-3~;~4].
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue.

\item $f(-3)=-2<0$

\item $f(4)=5>0$
\end{enumerate}
D'après le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-3~;~4]$.

\subsection{}
Soit $f$ une fonction continue sur [-5~;~8].\\
On sait que $f(-3)=5$, $f(1)=-2$ et $f(5)=7$.\\
%Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet au moins deux solutions dans [-5~;~8].
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur l'intervalle $[3~;~1]$, $f$ est continue, $f(-3)=5>0$ et $f(1)=-2<0$.\\
D'après le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-3~;~1]$.

\item De même :\\
Sur l'intervalle $[1~;~5]$, $f$ est continue, $f(1)=-2<0$ et $f(5)=7>0$.\\
D'après le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[1~;~5]$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x^3+x-1.\]
\begin{enumerate}

\item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.
$f'(x)=3x^2+1>0$ sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ (voir cours de Première ou prochain chapitre)

\item %Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $x_0$ dans [0~;~1].
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc sur $[0~;~1]$ comme fonction polynôme.

\item $f(0)=-1<0$

\item $f(1)=1>0$
\end{enumerate}
D'après le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0~;~1]$.\\
Comme $f$ est croissante sur cet intervalle, cette solution est unique. On la note $x_0$

\item %Montrer que $x_0$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, donc cette solution est unique sur $\mathbb{R}$.

\item %À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de $x_0$ à $10^{-2}$ près de cette solution.
À la calculatrice, on trouve : $f(0,68)\approx \numprint{-0.005568}$ et $f(0,69)\approx \numprint{0.018509}$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{0,68<x_0<0,69}}$
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  