\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Une entreprise produit des composants électroniques, dont on estime que 5\:\% d’entre eux sont défectueux.\\
On prélève 10 composants parmi le stock. On suppose que le stock est assez grand pour que cette sélection soit assimilée à un tirage avec remise dans le stock. On note $X$ le nombre de composants défectueux ainsi piochés.


\begin{enumerate}[1)]
\item %Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Expliquer.
On a répétition d'épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n=10~;~p=0,05)$.

\item %Quelle est la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse ?
On sait que $p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\
=\binom{10}{k}\times 0,05^k\times 0,95^{n-k}$.\\
Alors, la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse est $p(X=0)=0,95^{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{0.599}}$ 

\item %Que vaut $p(X\leqslant 2)$ ? \\
%On admet que $\binom{10}{1}=10$ et $\binom{10}{2}=45$.
$p(X\leqslant 2)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X=0)\approx 0,599$

\item $p(X=1)=\binom{10}{1}\times 0,05^1\times 0,95^{9}\approx 0.315$

\item $p(X=2)=\binom{10}{2}\times 0,05^2\times 0,95^8\approx 0.075$
\end{enumerate}
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{p(X\leqslant 2)\approx 0.988}}$


\end{enumerate}

%\section*{\textcolor{red}{Fonction $\mathbb{\ln}$}}
\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln(3)$ :
%(On rappelle que $\ln(\mathrm{e})=1$ ) 

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(27)=\ln\left(3^3\right)=\boxed{\textcolor{red}{3\ln 3}}$

\item $\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)=-\ln 9=-\ln\left(3^2\right)=\boxed{\textcolor{red}{-2\ln 3}}$

\item $\ln\left(\sqrt{3}\right)-2\ln(3)=\dfrac{1}{2}\ln 3-2\ln 3=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}\ln 3}}$

%\item $\ln\left(\dfrac{3}{\mathrm{e}}\right)$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(x+1)=0$ (pour $x>-1$)\\
$\ln(x+1)=0\iff \ln(x+1)=\ln 1\iff x+1=1\\
\iff x=0$ ;\\
 $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0\}}}$

%\item $\ln(2-3x)=\ln4$ pour $x<\dfrac{2}{3}$

\item $\ln(4x) = \ln(x - 3)$ pour $x>3$\\
$\ln(4x) = \ln(x - 3)\\
\iff 4x=x-3\\
\iff 3x=-3\\
\iff x=-1<3$ donc ce n'est pas possible ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$


\item $\ln(x+5)=7$ pour $x>-5$\\
$\ln(x+5)=7\\
\iff \ln(x+5)=\mathrm{e}^{7}\\
\iff x+5=\mathrm{e}^{7}\\
\iff x=\mathrm{e}^{7}-5>-5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{\mathrm{e}^{7}-5\}}}$

\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l'expression de la dérivée $f'(x)$ :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x\ln(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x=x\\v(x)=\ln x)\end{cases}$.\\
$f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=\dfrac{1}{x}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=1\times \ln x+x\times \dfrac{1}{x}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\ln x+1}}$

\item $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x=x\\v(x)=\ln x)\end{cases}$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=\dfrac{1}{x}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{1\times \ln x-x\times \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}}}$

\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x\left(\ln(x)-1\right).\]

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$.\\
%En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}(\ln x-1)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc, par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$

\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x)=1\times \left(\ln x-1\right)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln x-1+1=\boxed{\textcolor{red}{\ln x}}$

\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=0\iff \ln x=0\iff x=1$

\item $f'(x)=0\iff \ln x>0\iff x>1$

\item $f'(x)<0\iff x<1$

\end{enumerate}

\item %En déduire les variations de f sur $]0~;~+\infty[$ (on admettra que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$).
Tabeau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{0}&\d&-1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Calculer $f(\mathrm{e})$.
$\boxed{\textcolor{red}{f(\mathrm{e})=0}}$

\item %En déduire le signe de f(x) sur $]0~;~+\infty[$
Tabeau de signes de $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\mathrm{e}&&\pI\\
\hline
f(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Pour chacune des fonctions $f $suivantes, trouver une primitive $F$.
\begin{enumerate}[1)]
\item $f(x)=x^3+5x+7$ sur $\mathbb{R}$.\\
Une primitive est définie par $\boxed{\textcolor{red}{F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{5}{2}x^2+7x}}$.

\item $f(x)=x^2-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
Une primitive est : $\boxed{\textcolor{red}{F(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{x}+\ln(x)}}$ 

\item $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\dfrac{1}{x^3}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
Une primitive est : $\boxed{\textcolor{red}{F(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{2x^2}}}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  