<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathematiques complÃ©mentaires : correction du contrÃ´le sur la dÃ©rivation et les probabilitÃ©s }}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements~;~on sait que : $p(A)=\dfrac{3}{7}$, $p(B)=\dfrac{3}{20}$ et $p(A \cup B)=\dfrac{4}{7}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer $p(A \cap B)$.
$p(A \cap B)=p(A)+p(B)-p(A \cup B)=\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{20}-\dfrac{4}{7}\\
=\dfrac{60+21-80}{140}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{140}}}$

\item %$A$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?
$p(A)\times p(B)=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{3}{20}=\dfrac{9}{140}\neq p(A \cap B)$.\\
$A$ et $B$ ne sont pas indÃ©pendants.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Jade se rend Ã&nbsp; son travail Ã&nbsp; pied ou en voiture. Dans sa rÃ©gion, il pleut un jour sur quatre.\\
Lorsquâ€™il pleut, Jade se rend en voiture Ã&nbsp; son travail dans 80\:\% des cas. Lorsquâ€™il ne pleut pas, elle se rend Ã&nbsp; pied Ã&nbsp; son travail dans 60\:\% des cas.\\

\begin{enumerate}[1)]

\item %ReprÃ©senter la situation par un arbre pondÃ©rÃ©.
Notons $P$ l'Ã©vÃ©nement \og{}Il pleut\fg{} et $V$ \og{}Jade prend sa voiture\fg{}.\\
Arbre dÃ©crivant la situation :
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=6mm}
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$P$}\taput{$0,25$}}
	  { 
		  \TR{$V$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{P}$}\tbput{0,75}}
	  {
		  \TR{$V$}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{0,6}		  
	  }
}
\end{center}



\item %Calculer $p(V)$.
$p(V)=p(V \cap P)+p\left(V \cap \overline{P}\right)=0,8\times 0,25+0,4\times 0,75\\
=0,2+0,3=0,5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(V)=0,5}}$.

\item %Les Ã©vÃ©nements $V$ \og{}Jade prend sa voiture\fg{} et $P$ \og{}il pleut un jour donnÃ©\fg{} sont-ils indÃ©pendants ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(V \cap P)=0,2$

\item $p(P)\times p(V)=0,25\times 0,5=0,125$

\item $p(V \cap P)\neq p(V)\times p(P)$ donc $P$ et $V$ ne sont pas indÃ©pendants.
\end{enumerate}
On peut aussi remarquer que $p_P(V)\neq p(V)$.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_21_22/08_ctrle_21_04_2022.pdf
%Soit un paquet de cartes contenant un mÃªme nombre de cartes de \og{}Sciences\fg{} et dâ€™\og{}Ã‰conomie\fg{}.\\
%Une question liÃ©e Ã&nbsp; un de ces deux thÃ¨mes figure sur chaque carte.\\
%Les cartes sont mÃ©langÃ©es et on en tire une au hasard. Ensuite, on rÃ©pond Ã&nbsp; la question.\\
%Un groupe participe Ã&nbsp; ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime :
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item quâ€™il a 3 chances sur 4 de donner la bonne rÃ©ponse lorsquâ€™il est interrogÃ© en sciences ;
%
%\item quâ€™il a 1 chance sur 8 de donner la bonne rÃ©ponse lorsquâ€™il est interrogÃ© en Ã©conomie.
%
%\end{enumerate}
%.
%On note $S$ \og{}La question concerne les Sciences\fg{} et $B$ \og{}La rÃ©ponse donnÃ©e est bonne\fg{}.



\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\begin{enumerate}[1)]
\item %ReprÃ©senter cette situation par un arbre pondÃ©rÃ©.
Arbre :
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=11mm}
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$S$}\taput{$\dfrac{1}{2}$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{$\dfrac{3}{4}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\dfrac{1}{4}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dfrac{1}{2}$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\dfrac{1}{8}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\dfrac{7}{8}$}		  
	  }
}
\end{center}

\item %Calculer $p(B \cap S)$.
$p(B \cap S)=p_S(B)\times p(S)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{8}}}$

\item %DÃ©terminer la probabilitÃ© que le groupe rÃ©ponde correctement Ã&nbsp; la question.
$p(B)=p(B \cap S)+p\left(B \cap \overline{S}\right)=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{16}\\=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{16}}}\textbf{}$

\item% Les Ã©vÃ©nements $S$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?
$p(B)\times p(S)=\dfrac{7}{16}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{32}\neq p(B \cap S)$.\\
$B$ et $S$ ne sont pas indÃ©pendants.

\end{enumerate}




\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}\\

Pour participer Ã&nbsp; ce jeu, on doit payer 5 \euro{} de droit dâ€™inscription. On recevra :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 10 \euro{} si on est interrogÃ© en sciences et que la rÃ©ponse est correcte ;

\item 30 \euro{} si on est interrogÃ© en Ã©conomie et que la rÃ©ponse est correcte ;

\item rien si la rÃ©ponse donnÃ©e est fausse.

\end{enumerate}
Soit $X$ la variable alÃ©atoire qui, Ã&nbsp; chaque partie jouÃ©e, associe son gain. On appelle gain la diffÃ©rence en euros entre ce qui est reÃ§u et les 5 \euro{} de droit dâ€™inscription.

\begin{enumerate}[1)]
\item %DÃ©terminer la loi de probabilitÃ© de $X$.
Les valeurs possibles pour $X$ sont -5~;~5 et 25.
\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{c|}}\hline
x_i&amp;-5&amp;5&amp;25\\
\hline
p(X=x_i)&amp;\dfrac{9}{16}&amp;\dfrac{3}{8}&amp;\dfrac{1}{16}\\
\hline
\end{array}$

\end{center}

\item %Montrer que lâ€™espÃ©rance mathÃ©matique $E(X)$ est telle que : $E(X)= 0, 625$.\\
$E(X)=-5\times \dfrac{9}{16}+5\times \dfrac{3}{16}+25\times \dfrac{1}{16}=\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}=0,625$.\\
%InterprÃ©ter cette valeur dans le contexte de lâ€™Ã©noncÃ©.
En moyenne, sur un grand nombre de questions, il gagne 0,625 \euro{} par question.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit la fonction $f$ dÃ©finie sur [-3~;~3] par : \[f (x)=-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2+1.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item %On rappelle qu'une fonction $f$ est paire si, et seulement si, $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de son ensemble de dÃ©finition.\\
%Ã‰tudier la paritÃ© de la fonction $f$.
Pour tout $x$, $f(-x)=-\dfrac{1}{4}(-x)^4+2\times (-x)^2+1\\
=-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2+1=f(x)$ donc $f$ est paire.

\item %Quelle est la consÃ©quence sur la courbe $\mathscr{C}_f$ reprÃ©sentative de la fonction $f$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es.

\item %DÃ©terminer $f'(x)$ que lâ€™on factorisera.
$f'(x)=-x^3+4x=x\left(4-x^2\right)=x(2+x)(2-x)$.

\item %RÃ©soudre l'Ã©quation $f'(x)=0$ puis Ã©tudier le signe de $f'(x)$ Ã&nbsp; lâ€™aide dâ€™un tableau de signes.
$f'(x)=0$ pour $x=-2$, $x=0$ ou $x=2$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-2&amp;&amp;0&amp;&amp;2&amp;&amp;\pI\\
\hline
x&amp;&amp;-&amp;\l&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\l&amp;+&amp;\\
\hline
2+x&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\l&amp;+&amp;\l&amp;+&amp;\\
\hline
2-x&amp;&amp;+&amp;\l&amp;+&amp;\l&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Dresser le tableau de variation de f sur $[-3~;~3]$.\\
%On donnera les valeurs en -3 et 3 et les valeurs des extremum.
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;-3&amp;&amp;-2&amp;&amp;0&amp;&amp;2&amp;&amp;3\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;-\dfrac{5}{4}&amp;\c&amp;\h{5}&amp;\d&amp;1&amp;\c&amp;\h{5}&amp;\d&amp;-\dfrac{5}{4}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %DÃ©terminer lâ€™Ã©quation de la tangente $T_1$ au point dâ€™abscisse 1.
L'Ã©quation rÃ©duite de la tangente en 1 est :\\
$y=f'(1)(x-1)+f(1)\Leftrightarrow y=3(x-1)+\dfrac{11}{4}\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=3x-\dfrac{1}{4}}}$

\end{enumerate}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-3,-2)(3,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-2)(3,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{-x^4/4+2*x^2+1}
\psplotTangent[linecolor=blue,linewidth=2pt,arrows=&lt;-&gt;]{1}{2}{-x^4/4+2*x^2+1}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2.75)
\uput[u](2,5){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}


Soit $f$ une fonction dÃ©finie et dÃ©rivable sur  $\mathbb{R}$. On note $f'$ la dÃ©rivÃ©e de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ reprÃ©sentative de la fonction $f$.
 
La tangente Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnÃ©es $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))	}
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{-&gt;}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{&lt;-&gt;}(-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{&lt;-&gt;}(-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{&lt;-&gt;}(2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{\textcolor{red}{$\mathcal{C}_f$}}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item %Ã€ partir du graphique et des donnÃ©es de l'Ã©noncÃ© :
\begin{enumerate}
	\item %DÃ©terminer le nombre de solutions de l'Ã©quation $f'(x)=0$.
	Les solutions de l'Ã©quation $f'(x)=0$ sont les abscisses des points en lesquels la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale, c'est-Ã&nbsp;-dire parallÃ¨le Ã&nbsp; l'axe des abscisses.\\
	Il y a deux solutions :-2 et environ 3,6.
	
	\item %DÃ©terminer $f'(1)$.
	$f'(1)$ est la le coefficient directeur de la tangente Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ en 1, donc au point $B$.\\
	Elle passe par $B(1~;~0)$ et le point de coordonnÃ©es $(3~;~-3)$ ;  alors $f'(1)=\dfrac{-3-0}{3-1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}}$ 

\end{enumerate}
\item La tangente Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour Ã©quation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. 

%En dÃ©duire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(5)=\dfrac{7}{8}$ (coefficient directeur de la tangente)

\item Le point $D$ de $\mathscr{C}_f$, d'abscisse 5, appartient aussi Ã&nbsp; la tangente Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ en 5, donc ses coordonnÃ©es vÃ©rifient aussi l'Ã©quation de la tangente.\\
Par consÃ©quent, $f(5)=\dfrac{7}{8\times 5}-\dfrac{145}{24}=-\dfrac{40}{24}\\
=-\dfrac{5}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=-\dfrac{5}{3}}}$
\end{enumerate}

\item %La proposition  \og $f'(0)&gt; 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? \textbf{Justifier} !
Sur $\left[-2~;~3,5\right]$, $f$ est dÃ©croissante et 0 appartient Ã&nbsp; cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)&lt;0}}$ ; la proposition est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.\\
On peut aussi remarquer que la tangente en B d'abscisse 1 correspond Ã&nbsp; une fonction affine dÃ©croisante donc son coefficient directeur $f'(1)$ est nÃ©gatif.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit la fonction $f$ dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ par \[f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}.\]

\begin{enumerate}[1)]

\item %En reconnaissant une identitÃ© remarquable, factoriser $(2x-3)^2-4$.
$(2x-3)^2-4=(2x-3)^2-2^2=[[2x-3]-2][(2x-3)+2]\\
=\boxed{\textcolor{red}{(2x-5)(2x-1)}}$

\item %DÃ©montrer pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, on a : $f'[x)=\dfrac{(2x-3)^2-4}{(2x-3)^2}$.\\
%On pourra remarquer que $\dfrac{2}{2x-3}=2\times \dfrac{1}{2x-3}$.
$f=u+2\times \dfrac{1}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x-1\\v(x)=2x-3\end{cases}$.\\
Alors : $f'=u'+2\times \left(\dfrac{1}{v}\right)'=u'-2\dfrac{v'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=2\end{cases}$.\\
On en dÃ©duit : $f'(x)=1-\dfrac{4}{(2x-3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(2x-3)^2-4}{(2x-3)^2}}}$

\item %Montrer alors que $f'(x)=\dfrac{ (2x- 1)(2x- 5)}{(2x- 3)^2}.$
D'aprÃ¨s 1), on a : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{ (2x- 1)(2x- 5)}{(2x- 3)^2}}}$

\item %Ã‰tudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathscr{D}$ . (On fera un tableau de signe, en n'oubliant pas que $\dfrac{3}{2}$ est une valeur interdite).
$f'(x)$ est du signe du numÃ©rateur puisque $(2x-3)^2&gt;0$ sur $\mathscr{D}$.\\
Signe de $(2x-1)(2x-5)$ :(\textbf{\textcolor{red}{ne pas dÃ©velopper !}})\\
Il y a deux racines Ã©videntes : $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{2}$.\\
$(2x-1)(2x-5)$ est positif (signe du coefficient de $x^2$) Ã&nbsp; l'extÃ©rieur des racines et nÃ©gatif entre les racines.\\

\columnbreak

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes  :}}

%En dÃ©duire le tableau de variation de $f$.
\phantom{}\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;\dfrac{1}{2}&amp;&amp;&amp;\dfrac{3}{2}&amp;&amp;&amp;\dfrac{5}{2}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;&amp;\bb&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Ã‰tudier les limites de $f(x)$ en $-\infty$, $+\infty$ et $\dfrac{3}{2}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ :
$\lim_{x\rightarrow -\infty}(x-1)=-\infty$ et \\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}2x-3{}\right)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$

\item Limite en $+\infty$ :
$\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-1)=+\infty$ et \\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}2x-3{}\right)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$

\item Limite en $\dfrac{3}{2}$ avec $x&lt;-\dfrac{3}{2}$ :\\
$\lim_{x\rightarrow \dfrac{3}{2}}(x-1)=-\dfrac{5}{2}$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow \frac{3}{2}\\x&lt;\frac{3}{2}}}(2x-3)=0$ avec $2x-3&lt;0$\\
Donc $\lim_{\substack{x\rightarrow \frac{3}{2}\\x&lt;\frac{3}{2}}}\dfrac{1}{(2x-3)}=-\infty$.
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow \frac{3}{2}\\x&lt;\frac{3}{2}}}f(x)=-\infty}}$.

\item Limite en $\dfrac{3}{2}$ avec $x&gt;-\dfrac{3}{2}$ :\\
$\lim_{x\rightarrow \dfrac{3}{2}}(x-1)=-\dfrac{5}{2}$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow \frac{3}{2}\\x&gt;\frac{3}{2}}}(2x-3)=0$ avec $2x-3&gt;0$\\
Donc $\lim_{\substack{x\rightarrow \frac{3}{2}\\x&gt;\frac{3}{2}}}\dfrac{1}{(2x-3)}=+\infty$.
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow \frac{3}{2}\\x&gt;\frac{3}{2}}}f(x)=+\infty}}$.

\end{enumerate}

\item %En dÃ©duire le tableau de variation de $f$.
\phantom{}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;\dfrac{1}{2}&amp;&amp;&amp;\dfrac{3}{2}&amp;&amp;&amp;\dfrac{5}{2}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;&amp;\bb&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\mI&amp;\c&amp;\h{-\dfrac{3}{2}}&amp;\d&amp;\mI&amp;\bb&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;\dfrac{5}{2}&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>