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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\section*{\textcolor{red}{Loi de probabilité}}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Une entreprise produit des composants électroniques, dont on estime que 5\:\% d’entre eux sont défectueux.\\
On prélève 10 composants parmi le stock. On suppose que le stock est assez grand pour que cette sélection soit assimilée à un tirage avec remise dans le stock. On note $X$ le nombre de composants défectueux ainsi piochés.


\begin{enumerate}[1)]
\item Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Expliquer.

\item Quelle est la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse ?

\item Que vaut $p(X\leqslant 2)$ ? \\
On admet que $\binom{10}{1}=10$ et $\binom{10}{2}=45$.


%\item Combien de composants doit-on prélever pour être sûr à au moins 99% de piocher au moins un composant défectueux dans ce lot ?

\end{enumerate}

\section*{\textcolor{red}{Fonction $\mathbb{\ln}$}}
\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Exprimer les nombres suivants en fonction de $\ln(3)$ :
%(On rappelle que $\ln(\mathrm{e})=1$ ) 

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(27)$

\item $\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)$

\item $\ln\left(\sqrt{3}\right)-2\ln(3)$

%\item $\ln\left(\dfrac{3}{\mathrm{e}}\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(x+1)=0$ (pour $x>-1$)

%\item $\ln(2-3x)=\ln4$ pour $x<\dfrac{2}{3}$

\item $\ln(4x) = \ln(x - 3)$ pour $x>3$

%\item $\ln(x-1)+\ln(x-2) = \ln6$ pour $x>2$

\item $\ln(x+5)=7$ pour $x>-5$

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l'expression de la dérivée $f'(x)$ :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x\ln(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x\left(\ln(x)-1\right).\]

\begin{enumerate}
\item On rappelle que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$.\\
En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.

\item Calculer $f'(x)$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$.

\item En déduire les variations de f sur $]0~;~+\infty[$ (on admettra que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$).

\item Calculer $f(\mathrm{e})$.

\item En déduire le signe de f(x) sur $]0~;~+\infty[$

\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
%La fonction $B$ définie sur [1~;~6] par $B(x) = -x^2 + 10x - 9 - 8\ln(x)$ représente le bénéfice mensuel (en dizaines de milliers d’euros) réalisé par une entreprise lors de la vente de x centaines d’objets produits par mois.
%
%\begin{enumerate}
%\item Étudier les variations de $B$.
%
%\item En déduire  la quantité d’objets à produire par mois pour obtenir un bénéfice mensuel maximal.
%\end{enumerate}

\section*{\textcolor{red}{Primitives}}
\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Pour chacune des fonctions $f $suivantes, trouver une primitive $F$.
\begin{enumerate}[1)]
\item $f(x)=x^3+5x+7$ surt $\mathbb{R}$.

\item $f(x)=x^2-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\dfrac{1}{x^3}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  