\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices \no 3}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Voici la courbe représentative d'une fonction.
\begin{center}
\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-8)(11,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-11,-8)(11,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-10}{-2.02}{(x+1)/((x+2)*(x-3))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.992}{2.99}{(x+1)/((x+2)*(x-3))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{3.01}{10}{(x+1)/((x+2)*(x-3))}
\begin{scriptsize}
\uput[u](-8,0){$\mathscr{C}_f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Conjecturer les limites suivantes :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}f(x)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}f(x)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}f(x)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3}}f(x)$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
On considere la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \\
$f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.\\
La courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-1)(10,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-1)(10,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-1)(10,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=1000]{-8}{10}{(5*x^2+x+2)/(x^2+1)}
\uput[d](3,5){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $f(x)$.

\item En déduire, à partir du graphique, la valeur de $a$.
\end{enumerate}


\item Déterminer, à partir du graphique, les valeurs de  $c$ puis $b$.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ :
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-3)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-3)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-3)(9,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4}{6}{0.05*x^3+.01*x^2-1.08*x-0.05}
\rput(6,2){)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](6,2)(8,3)
\uput[d](4,-1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
Cette fonction est-elle continue ?



\subsection{}
Même question avec la fonction suivante :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-5)(5,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.2}{0.33*x^3-0.38*x^2-3.44*x + 1.67}
\uput[d](2,-4){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=\begin{cases}2x-1\text{ si }x\leqslant 1\\x^2\text{ si }>1\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement cette fonction.

\item $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier par un calcul.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{x}\text{ si }x\leqslant 0\\x+2\text{ si }>0\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement cette fonction.

\item $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier par un calcul.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3\text{ si }x\leqslant 3\\m\text{ si }>32\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

\item Représenter alors graphiquement  la courbe représentative de $f$ pour la ou les valeur(s) de $m$ trouvée(s) précédemment.
\end{enumerate}







\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  