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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Suites : feuille d'exercices (2)\\ (suites aritmético-géométriques et limites)}}\end{center}

\subsection{}
Dans un pays, un organisme étudie l’évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on
a constaté que la population a un taux d’accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.\\
De plus, chaque année, \numprint{12000} personnes arrivent dans ce pays et \numprint{5000} le quitte.\\
En 2020, la population de ce pays était de 75 millions d’habitants. On suppose que l’évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.\\
On note $P_n$ la population de l’année $(20210 + n)$ exprimée en milliers d’habitants.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les trois premiers termes de la suite. Cette suite est-elle géométrique ? Arithmétique ?
justifier votre réponse.

\item  Donner la relation de récurrence entre $P_{n+1}$ et $P_n$ .

\item On définit la suite $\left(U_n\right)$ $U_n=P_n+500$.\\
Montrer que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique.

\item Donner la formule explicite de $U_n$.

\item En déduire la formule explicite de $P_n$.

\item Combien d’habitants peut-on prévoir en 2025 ?

\item Au bout de combien d’années la population aura-t-telle doublé ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Liban mai 2016}}
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien
aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont
souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à
venir.

En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$.
	\end{enumerate}
\item L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre
actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
	
On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise
l'algorithme suivant :\index{algorithme}
\begin{center}
	
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline
L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
L3& 			&Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\
L4& 			&Affecter à $U$ la valeur 75\\
L5& 			&Tant que $U \leqslant  100$ faire\\
L6& 			&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
L7& 			&$U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\
L8& 			&Fin Tant que\\
L9& Sortie :	&Afficher \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la ligne L9.
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|m{1.5cm}|m{1.5cm}|X|}\hline 
Valeur de $n$	&0	&	&\\ \hline
Valeur de $U$	&75	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.\index{suite}
	
On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 25 \times  1,12^n + 50$.
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$.
		\item Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=(4n-3)(7-8n)$

\bigskip

\item $u_n=3n^2-5n+3$

\bigskip

\item $u_n=-7n^2+2n-3$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{4n^2-5n+1}{n+2}$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n^2+7}{5n^2-4}$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{5n+7}{3n^2+1}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère deux suites définie par :
$\begin{cases}u_0=200\\u_{n+1}=1,05u_n\end{cases}$ et $\begin{cases}v_0=250\\v_{n+1}=v_n-0,05v_n\end{cases}$.\\
Déterminer le terme général de ces deux suites et trouver leurs limites.




\label{fin}
\end{document}  