<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ Feuille d'exercices (dÃ©rivation) \no 3}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x^2 - 11x+ 12$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $f$ est dÃ©rivable sur $\mathbb{R}$ et dÃ©terminer sa fonction dÃ©rivÃ©e $f'$.

\item Ã‰tudier, pour tout rÃ©el $x$, le signe de $f'(x)$.

\item En dÃ©duire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. 
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $h$ la fonction dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{5\right\}$ par \\
$h(x) = 7-\dfrac{10}{5-x}$. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que $h$ est dÃ©rivable sur $\mathscr{D}$, et dÃ©terminer sa fonction dÃ©rivÃ©e $h'$.

\item Ã‰tudier, pour tout rÃ©el $x\neq 5$, le signe de $h'(x)$.

\item En dÃ©duire les variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{5\right\}$. 

\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $g$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par \\
$g(x) =\dfrac{2}{3}x^3 +3x^2 + 56x - 24$. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est dÃ©rivable sur $\mathbb{R}$ et dÃ©terminer sa fonction dÃ©rivÃ©e $g'$.

\item Ã‰tudier, pour tout rÃ©el $x$, le signe de $g'(x)$.

\item En dÃ©duire les variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. 

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $g$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3-x^2-x$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ est dÃ©rivable sur $\mathbb{R}$ et dÃ©terminer sa dÃ©rivÃ©e $g'$.

\item Ã‰tudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$.

\item En dÃ©duire les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.

\item VÃ©rifier la rÃ©ponse Ã&nbsp; la question prÃ©cÃ©dente en traÃ§ant la courbe de la fonction $g$ sur la calculatrice graphique. 

\end{enumerate}

\subsection{}
MÃªme exercice que le prÃ©cÃ©dent avec la fonction \[g : x\mapsto  \dfrac{1}{3}x^3 + 2x.\]

\subsection{}
 MÃªme exercice que le prÃ©cÃ©dent avec la fonction \[g : x\mapsto - 2x^3+x^2+ 8x- 7. \]

\subsection{}
Soit $f$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -4x^3+ 9x$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est dÃ©rivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$ pour tout rÃ©el $x$.

\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.

\item En dÃ©duire que $f$ admet un maximum local en une valeur que l'on dÃ©terminera et un minimum local en une autre valeur que l'on dÃ©terminera. 
\end{enumerate}

\subsection{}
Une entreprise fabrique et vend des montres. Elle en produit chaque jour entre 2 et 24.\\
On note $x$ le nombre de montres produites et vendues par jour.\\
On appelle $C(x)$ le coÃ»t total journalier de fabrication en euros.\\
La fonction $C$ est dÃ©finie par $C(x) =x^2- 4x + \numprint{169}$.\\
On appelle \textbf{coÃ»t unitaire moyen} $C_m(x)$ le coÃ»t de fabrication d'une montre lorsqu'on en produit $x$.\\
Il est donnÃ© par $C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. 

\begin{enumerate}
\item Ã€ quel intervalle $I$ appartient le nombre $x$?

\item DÃ©montrer que la fonction $C_m$ est dÃ©finie sur $I$ par \[C_m(x)=x-4+\dfrac{169}{x}.\]

\item Justifier que $C_m$ est dÃ©rivable sur $I$ et dÃ©terminer, pour tout rÃ©el $x$ de $I$, $C_m'(x)$.

\item Dresser le tableau de signes de $C_m(x)$ sur $I$.

\item En dÃ©duire le nombre de montres que l'entreprise doit fabriquer pour avoir un coÃ»t moyen minimal. 

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $g$ la fonction dÃ©finie sur \\
$\mathscr{D}=\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right[ \cup \left]-\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[$ par : \[g(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{2x+3}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est dÃ©rivable sur $\mathscr{D}$, et montrer que, pour tout rÃ©el $x$ de $\mathscr{D}$, $g'(x) =\dfrac{x^2+3x-\frac74}{(2x+3)^2}$.

\item Ã‰tudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathscr{D}$.

\item En dÃ©duire les variations de $g$ sur $\mathscr{D}$ et dresser son tableau de variation. 

\end{enumerate}



\end{multicols}








\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>