\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}


\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices \no 4 (théorème des valeurs intermédiaires)}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre l'équation $f(x)=0$ pour chacune des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=(x-3)(x+5)$

\item $f(x)=x^2-9$

\item $f(x)=x^2-7x$

\item $f(x)=x^2-35x$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction définie sur $[-5~;~7]$ dont la courbe représentative est tracée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.65,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-3)(7,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-3)(7,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-3)(7,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{5}{-0.25*x^2+x/2+1.75}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-5,2)(-3,-2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](5,-2)(7,2)
\end{pspicture}
\end{center}
Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et donner une encadrement entre deux entiers consécutifs de chacune d'entre elles.

\subsection{}
Le tableau de variation d'une fonction continue $f$ est donné ci-dessous.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&3&&5\\
\filet
\m{\text{Variation de }f}&\h{6}&\d&-1&\c&\h{2}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
Déterminer le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle [-2~;~5] :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=0$

\item $f(x)=4$

\item $f(x)=-3$
\end{enumerate}

\subsection{}
Le tableau de variation d'une fonction continue $f$ est donné ci-dessous.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&2&&5&&9\\
\filet
\m{f(x)}&-10&\c&\h{5}&\d&2,5&\c&\h{15}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
Déterminer le nombre de solutions de chacune des équations suivantes sur l'intervalle [-2~;~5] :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=-9$

\item $f(x)=3$

\item $f(x)=18$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction continue sur [-3~;~4].\\
On sait que $f(-3)=-2$ et $f(4)=5$.\\
Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans [-3~;~4].

\subsection{}
Soit $f$ une fonction continue sur [-5~;~8].\\
On sait que $f(-3)=5$, $f(1)=-2$ et $f(5)=7$.\\
Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet au moins deux solutions dans [-5~;~8].

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x^3+x-1.\]
\begin{enumerate}

\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $x_0$ dans [0~;~1].

\item Montrer que $x_0$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ sur $[0~;~+\infty[$.

\item À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de $x_0$ à $10^{-2}$ près de cette solution.
\end{enumerate}


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  