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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercice bac ES Amérique du Nord juin 2019}}\end{center}

Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ;
\item la location commence le 1\ier{} jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
\item le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
\end{list}

À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l'égalité: $u_{n+1}=0,9 u_n + 42$.

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-420$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que \\
$u_n=-140\times 0,9^{n} + 420$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.

On souhaite utiliser l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 280$\\
Tant que $\ldots\ldots\ldots$\\
\hspace*{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow \ldots\ldots\ldots$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme.
\item Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
\item En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  