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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles et primitives d'une fonction}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Équations différentielles}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Généralités}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une équation ndifférentielle est une équation dont l'inconnue est une \textbf{fonction}.\\
L'égalité que forme cette équation différentielle se présente comme une relation entre la fonction inconnue, sa dérivée, une ou plusieurs dérivées d'ordres différents et éventuellement une autre fonction.\\
La fonction inconnu est souvent appelée $y$.
\end{bclogo}

\bigskip
Exemples :

\begin{enumerate}[a)]
\item $y'-4y=2x-1$ est une équation différentielle.

\item $y''-3y'+2y=0$ est une équation différentielle.
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Résoudre une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions vérifiant cette équation.
\end{bclogo}

\bigskip

Remarque : on ne sait pas résoudre toutes les équations différentielles \dots


\subsubsection{\textcolor{red}{Équation différentielle de la forme $y'=f$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Définition}
Spoit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
On appelle primitive de $f$ toute fonction dérivable sur $I$ solution de l'équation différentielle $y'=f$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : }}\\
Soit lréqsuation différentielle $y'=2x+3$.\\
La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=x^2+3x$ est une solution de cette équation différentielle.\\
On dit que $F$ est une \textbf{\textcolor{red}{primitive}} de la fonction $f : x\mapsto 2x+3$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $g$ définie par $g(x)=x^2+3x+7$ est aussi une solution. Il n'y a donc pas unicité d'une primitive.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème admis}}
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives définies sur $I$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soit $F$ une primitive de $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout réel $k$, $F+k$ est aussi une primitive de $f$.

\item Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, il existe $k$ tel que $G=F+k$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Remarque : il suffit donc de connaître une primitive pour les avoir toutes ; ill suffit d'ajouter une constante quelconque.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
Quels que soient  les réels $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant $F\left(x_0\right)=y_0$.
\end{bclogo}
\label{fin}
\end{document}  