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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ Correction des exercices sur les dérivées (2)}}\end{center}


\subsection{}
Soit $f : x\mapsto x\left\vert x \right\vert$.\\
%$f$ est-elle dérivable en 0 ?
$\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h\left\vert h \right\vert}{h}=\left\vert h \right\vert$ donc $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{f(0+h)-f0}{h}\right)=0$.\\
$f$ est dérivable en 0 et $f'(0)=0$.

\subsection{}
Soit la fonction $f : x\mapsto 6x^2+12x-1$, définie sur l'intervalle [-10~;~18].
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x)=6\times 2x+12=12x+12=\boxed{\textcolor{red}{12(x+1)}}$.

\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$

\item $f'(x)>0\Leftrightarrow x>-1$
\end{enumerate}

\item %En déduire le tableau de variation de $f$.
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&-7&\c&&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^4-6x^2-8x+2.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ puis vérifier que \[f'(x)=4(x-2)(x+1)^2.\]
$f'(x)=4x^3-12x-8=4\left(x^3-3x-2\right)$.\\
Or $4(x-2)(x+1)^2=4(x-2)\left(x^2+2x+1\right)=4\left[x^3+2x^2+x-2x^2-4x-2\right]=4\left[x^3-3x-2\right]$.\\
Par conséquent: $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=4(x-2)(x+1)^2}}$

\item %En déduire le tableau de variation de $f$.
On en déduit que $f'(x)$ est du signe de $x-2$ car 4>0 et $(x+1)^2\geqslant 0$ en s'annulant en -1.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&\pI\\
\hline
4(x-2)&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(x+1)^2&&+&\z&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&&-&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\dh&\m{5}&\db&-22&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %La fonction admet-elle un extremum ? Si oui, donner sa valeur ainsi que la valeur en laquelle il est atteint.
La fonction a un minimum, -22, atteint en $x=2$.\\
Remarque : la courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale en -1 puisque $f'(-1)=0$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.15,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-23)(4,54)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=4]{->}(0,0)(-3,-23)(4,54)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-23)(4,54)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3.5}{x^4-6*x^2-8*x+2}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=x^3-2x+1$.\\
$f'(x)=3x^2-2=3\left(x^2-\dfrac{2}{3}\right)=3\left(x-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\approx 2,09}&\d&\approx -0,09&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, la courbe $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en trois points.

\item $g(x)=x^3-2x-1$.\\
$g((x)=f'(x)$. On remarque que $g(x)=f(x)-2$.\\
Le tableau de variation est alors :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\sqrt{\dfrac{2}{3}}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\c&\h{\approx 0,09}&\d&\approx -2,09&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, la courbe $\mathscr{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en trois points.



\item $h(x)=x^3+2x-1$.\\
$h'(x)=3x^2+2>0$.\\
$h$ est croissante.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{h(x)}&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
La courbe $\mathscr{C}_h$ n'a qu'un point d'intersection avec l'axe des abscisses.

\end{enumerate}
%Pour ces trois fonctions, définie sur $\mathbb{R}$, étudier leur variation, puis en déduire le nombre de points d'intersection de la courbe représentative avec l'axe des abscisses.

\subsection{}
%Montrer que l'équation $x^5+2x^3+3x-20=0$ possède une unique solution dans $\mathbb{R}$.
\noindent On pose : $f(x)=x^5+2x^3+3x-20$ .\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=5x^4+6x^2+3>0}}$ (somme de nombres positifs).\\
On en déduit que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.\\
$f(x)=x^5\left(1+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^4}-\dfrac{20}{x^5}\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^4}-\dfrac{20}{x^5}\right)=1$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^5=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^5=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}}$
\end{enumerate}
On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $x^5+2x^3+3x-20=0$, donc $f(x)=0$ admet une solution ; celle-ci est unique car $f$ est monotone (croissante).

\label{fin}
\end{document}  