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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur la loi binomiale}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Le forage conduit à une nappe de pétrole avec une probabilité 0,1 ou pas avec une probabilité 0,9. C’est donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,1. Il a bien que deux issues possibles.

\item 
\begin{enumerate}
\item Les forages doivent être indépendants pour que $X$ suive une loi binomiale.

\item $p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)=1-0,9^9\approx \boxed{\textcolor{red}{0,613}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère que le tirage de 1000 résistances a lieu avec remise et que donc les tirages sont indépendants les uns des autres.\\
Le nombre  de résistances défectueuses suit donc une loi binomiale de paramètres $n=\numprint{1000}$ et $p=0,005$.

\begin{enumerate}
\item $p(X=2)=\binom{\numprint{1000}}{2}\times 0,005^2\times 0,995^{998}\approx 0,084$.

\item $p(X\leqslant 2)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)\\
=\binom{\numprint{1000}}{0}\times  0,995^{\numprint{1000}}+\binom{\numprint{1000}}{1}\times 0,005\times 0,005^{999}+\binom{\numprint{1000}}{2}\times 0,005^2\times 0,995^{998}\approx 0,124$.\\
Le calcul peut se faire directement à la calculatrice.

\item $p(X\geqslant 2)=1-p(X\leqslant 1)=1-\left[p(X=0)+p(X=1)\right]= 1- 0,995^{\numprint{1000}}-\numprint{1000} \times  0,005\times  0,995^{999} \approx  0,960$.

\end{enumerate}


\subsection{}
Les interrogations se font de manière indépendante les unes des autres et à chaque interrogation, la probabilité d’avoir une fille est $\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$ donc $X$  suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
\begin{enumerate}
\item Pour $n=10$ :
$p(X=4)=\binom{10}{4}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^4\left(\dfrac{1}{3}\right)^6=210\times \dfrac{16}{81}\times \dfrac{1}{729}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,057}}$.

$p(X\geqslant 4)=1-pp(X\leqslant 3)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,980}}$.

\item Oncherche $n$ tel que $p(X=0)\leqslant 0,001\Leftrightarrow \dfrac{1}{3^n}\leqslant 0,001\Leftrightarrow 3^n\geqslant \numprint{1000}$.\\
À la calculatrice, on trouve $n\geqslant 7$.\\
Il faut donc interroger pendant au moins 7 jours consécutifs pour que la probabilité de n’avoir aucune fille soit inférieure à 0,001.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $X$ étant le nombre de matchs gagnés sur les 3 joués, on a $X\in\{{0~;~1~;~2~;~3\}$. \\
De plus pour chaque match perdu,Benjamin verse 20 \euro{} donc $D = 20(3 - X) =60-3X$.\\
On a alors $D\in\{60~;~40~;~20~;~0\}$.

\item $D = 40$ si et seulement si $X = 1$.\\
Il ya trois matchs indépendants les uns des autres et pour chaque match, la probabilité que Benjamin gagne est de 0,4 donc le nombre $X$ de match gagnés par Benjamin suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0,4.\\
$p(D = 40) = p(X = 1) = \binom{3}{1}\times 0,4^1\times 0,6^2 = 3 \times 0,4\times 0,36 = \boxed{\textcolor{red}{0,432}}$

\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  