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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices (feuille 2)}}\end{center}

\subsection{}
On a constaté que la population a un taux d’accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.\\
De plus, chaque année, \numprint{12000} personnes arrivent dans ce pays et \numprint{5000} le quittent.\\
En 2020, $P_n$ la population de l’année $(2020 + n)$ exprimée en milliers d’habitants.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $P_0=\numprint{75000}$

\item Un taux d’accroissement naturel et annuel de 14 pour mille correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1,014 , donc :\\
$P_1=P_0\times 1,014+12-5=1,°04\times 75000+7=\numprint{76057}$

\item De même : $P_2=1,014\times P_1+7=\numprint{77128,798}$.

\item $P_1- P_0=\numprint{76057}-\numprint{75000}=\numprint{1057}$ et $P_2-P_1=\numprint{77128,798}-\numprint{76057}=\numprint{1071,798}$.\\
$P_2-P_1\neq P_1-P_0$ : cette suite n’est pas arithmétique.

\item $\dfrac{P_1}{P_0}\approx 1\numprint{,0140933}$ et $\dfrac{P_2}{P_1}\approx \numprint{1,014092}$.\\
Ces deux quotients ne sont pas égaux : cette suite n’est pas géométrique
\end{enumerate}

\item On a : $\boxed{\textcolor{red}{P_{n+1}=1,014P_n+7}}$

\item On pose $U_n=P_n+500$.\\
Pour tout $n$, $U_{n+1}=P_{n+1}+500=1,014P_n+7+500=1,014P_n+507\\
=1,014\left(P_n+\dfrac{507}{1,014}\right)=1,014\left(P_n+500\right)=\boxed{\textcolor{red}{1,014U_n}}$.\\
$\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=1,014$ et de premier terme $U_0=P_0+500=\numprint{75500}$.

\item Pour tout $n$, $U_n=U_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{75500}\times 1,014^n}}$.\\
Par conséquent : $U_n=P_n-500=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{75500}\times 1,014^n-500}}$.

\item En 2025, la population serait $P_5\approx \numprint{86435,066}$ , soit \numprint{86435066} habitants environ.

\item À la calculatrice, on trouve que la population aura doublé au bout de 50 ans.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Liban ES mai 2016}}
%L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien
%aux propriétaires de piscines privées.
%
%Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont
%souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à
%venir.
%
%En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.
%
%On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
		$u_0 = 75$, donc en 2016 $u_1 = u_0 \times 1,12 - 6 = 75 \times 1,12 - 6 84 - 6 = 78$.
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$.
		D'une année sur l'autre l'augmentation est de 12\,\%, donc le nombre de contrats est multiplié par $1 + \dfrac{12}{100} = 1+ 0,12 = 1,12$ et ce nombre est diminué par les 6 résiliations, donc 
		
		\[u_{n+1} = 1,12u_n - 6.\]
		
	\end{enumerate}
\item %L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre
%actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
	
%On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise
%l'algorithme suivant :
%\begin{center}
	
%\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline
%L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
%L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
%L3& 			&Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\
%L4& 			&Affecter à $U$ la valeur 75\\
%L5& 			&Tant que $U \leqslant  100$ faire\\
%L6& 			&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
%L7& 			&$U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\
%L8& 			&Fin Tant que\\
%L9& Sortie :	&Afficher \ldots \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter la ligne L9.
Afficher $n$ ou afficher $2015 + n$ année où le nombre de contrats dépassera 100.
		\item %Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Valeur de $n$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	\\ \hline
Valeur de $U$	&75	&78	&81	&85	&89	&94	&99	&105\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
En 2022 le nombre de contrats sera de 105 : il faudra donc embaucher du personnel.
	\end{enumerate}
\item %On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.
	
%On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
On a pour tout entier naturel $n$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 50 = 1,12u_n - 6 - 50 = 1,12u_n - 56 = 1,12\left(u_n - \dfrac{56}{1,12}\right) \\
= 1,12\left(u_n - 50\right) =\boxed{\textcolor{red}{ 1,12v_n}}$.

L'égalité $v_{n + 1} = 1,12v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,12, de premier terme $v_0 = u_0 - 50 = 75 - 50 = 25$.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 25 \times  1,12^n + 50$.
		
On sait qu'alors pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = 25 \times 1,12^n$.

Or $v_n = u_n - 50 \iff u_n = v_n + 50$, donc finalement pour tout naturel $n$ :

\[u_n = 50 + 25 \times 1,12^n.\]

		\item %Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$.
Il faut résoudre dans $\mathbb{N}$, l'inéquation $u_n > 100$ :

$u_n > 100 \iff 50 + 25 \times 1,12^n > 100 \iff 25 \times 1,12^n > 50 \iff 1,12^n > 2 \iff $

$n \ln 1,12 > \ln 2 \iff n > \dfrac{\ln 2}{\ln 1,12}$. Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,12} \approx 6,1$. Il faut prendre au moins $n = 7$.
		\item %Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
On retrouve bien le fait qu'en 2022 (soit pour $n = 7$), le nombre de contrats dépassant 100, il faudra embaucher du personnel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  