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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices de révision sur la fonction exponentielle}}\end{center}



\subsection{}
Déterminer le sens de variation des fonctions $f$ et $g$ définies par :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\mathrm{e}^{2x-3}$.\\
$f=\mathrm{e}^{u}$ donc $f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x-3$ et $u'(x)=2$.\\
$f'(x)=2\mathrm{e}^{2x-3}>0$ donc $f$ est croissante.

\item $g(x)=\mathrm{e}^{-3x}$\\
De même $g'(x)=-3\mathrm{e}^{-3x}<0$ donc $g$ est décroissante.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équations}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\mathrm{e}^{x}=1\Leftrightarrow x=\ln(1)=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0\}}}$.

\item $\mathrm{e}^{3x-5}=1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{3x-5}=\mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow 3x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5}{3}\right\}}}$

\item $\mathrm{e}^{x}=-1$ ; il n'y a pas de solution car, pour tout $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ , $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$

\item $\mathrm{e}^{2x+3}=\mathrm{e}\Leftrightarrow 2x+3=1$ car $\mathrm{e}+\mathrm{e}^{1}$ donc $x=-1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1\}}}$

\item $\mathrm{e}^{-2x+3}-1=0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-2x+3}=1=\mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow -2x+3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]

\item $\mathrm{e}^{x}\leqslant \mathrm{e}^{3}\leqslant x\leqslant 3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~3]}}$

\item $\mathrm{e}^{2x+1}\leqslant \mathrm{e}^{3x-5}\Leftrightarrow 2x+1\leqslant 3x-5\Leftrightarrow 6\leqslant x$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[6~;~+\infty[}}$

\item $\mathrm{e}^{-x+3}\leqslant 1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-x+3}\leqslant \mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow -x+3\leqslant 0\Leftrightarrow 3\leqslant x$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[3~;~+\infty[}}$

\item $\mathrm{e}^{5x}\geqslant 0$ ; tous les nombres sont solutions puisque 'exponentielle est une fonction strictemement positive.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\mathbb{R}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x$.\\
%Démontrer que l'équation $f(x)=3$ admet une solution unique sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 
$f'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$.

\item $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$.

\item $f'(x)<0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}<1\Leftrightarrow x<0$

\item $f$ est continue.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$\\
$f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)$ ; on sait que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=3$  admet une unique solution dans $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  