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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices (loi binomiale et loi géométrique)}}\end{center}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Le fait de choisir une pièce est de regarder si elle est conforme ou non est une épreuve de Bernoulli. On la répète \numprint{1000} fois et on suppose les répétitions indépendantes puisqu’on assimile les tirages à des tirages sans remise.\\
Ainsi peut-on modéliser la loi de $X$ par la loi binomiale $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{B}(\numprint{1000}~;~0,02)}}$.

\item À la calculatrice, on trouve $p(X\leqslant 10)\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,010}}$.

\item $E(X) = \numprint{1000} \times  0,02 = \boxed{\textcolor{red}{20}}$.\\
Dans le lot de \numprint{1000}, la valeur espérée est 20.

\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E(T)=\dfrac{1}{0,01}=\boxed{\textcolor{red}{100}}$

\item $V(T)=\dfrac{1-0,01}{0,01^2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0099}}}$

\item $\sigma(T)=\sqrt{V(T)}=\sqrt{\numprint{0,0099}}\boxed{\textcolor{red}{\approx \numprint{0,0995}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X=2)=\boxed{\textcolor{red}{p\times (1-p)}}$

\item $p(Y=2)=(1-p)\times (1-(1-p))=\boxed{\textcolor{red}{(1-p)\times p}}$
\end{enumerate}
Donc $\boxed{\textcolor{red}{p(X=2)=p(Y=2)}}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Le fait de lancer une pièce et de regarder si on obtient \og{}Pile\fg{} ou non est une épreuve de Bernoulli.\\
Puisqu’elle est répétée de manière indépendante, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre d’essais avant d’obtenir \og{}Pile\fg{} suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{2}$.\\
Ainsi, $p(X = 5) = \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{32}}}$.

\item La loi géométrique étant sans mémoire, la question posée revient à déterminer :\\
$p_{X=13}(X=18)=p(X=5)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{32}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Le fait qu’un client se présente ou non à l’embarquement est une épreuve de Bernoulli. Elle est répétée 350 fois de manière indépendante.\\
Ainsi, X suit-elle la loi binomiale de paramètres $n=350$ et $p=0,94$.

\item $E(X) = 350 \times  0,94 = 329$ et $\sigma(X) = \sqrt{350 \times  0,94 \times  0,06} = \sqrt{19,74} \approx \boxed{\textcolor{red}{4,443}}$.

\item À l’aide de la calculatrice, on obtient :\\
$p(X< 330) = p(X \leqslant  329) \approx \boxed{\textcolor{red}{0,532}}$.

\item La première valeur de $n$ pour laquelle $p(X > 350) \geqslant  0,01$ est $\boxed{\textcolor{red}{n = 363}}$.\\
La compagnie, pour rentabiliser la ligne et limiter les risques liés au surbooking à 1,4\:\%, peut vendre jusqu’à 363 billets.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012}}
%Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reÁus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

%On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{3mm}
%\begin{itemize}
%\item D : \og{}Le candidat est retenu sur dossier\fg{}, 
%\item E$_{1}$ : \og{}Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien\fg{}, 
%\item E$_{2}$ : \og{}Le candidat est recrut?\fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$. 
		\item %On note $F$ l'évènement \og{}Le candidat n'est pas recruté\fg{}.
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit :

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93$. D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = 0,07$.

On peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$.

D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.  La variable $X$ suit donc une loi binomiale $(\mathcal{B},n=5,\:p=0,07)$. 
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \np{0,0394} \approx 0,039$ à $10^{-3}$ près
	\end{enumerate} 		 
\item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : \\
$\binom{0}{n}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.\\

Deux possibilités :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item À la calculatrice, en utilisant la fonction $f: : x\mapsto 1-0,93^x$ et en faisant varier $x$ par pas de 1 (ou d'abord par pas de 5, puis en affinant par pas de 1\dots)\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 96}}$

\item 

On peut résoudre l'inéquation à laide d ela fonction logarithme népérien $\ln$, mais pas encore étudiée :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction ln) $\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$.

Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx 95,1$.

Il faut donc traiter \textbf{\textcolor{red}{au moins 96}} dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  