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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur les équations différentielles}}\end{center}

%\tableofcontents



\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles}}

\subsection{}
Dans chacun des cas, vérifier que la fonction $f$ donnée est solution de l'équation différentielle $(E)$ donnée :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f : x\mapsto 3x^2-2x+1$ et $(E)~:~y'=6x-2$\\
$f'(x)=6x-2$ donc $f$ est solution de $(E)$.

\item $g : x\mapsto \ln(x)+2$ et $(E)~:~y'=\dfrac{1}{x}$\\
$g'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $g$ est solution de $(E)$.

\item $h : x\mapsto \mathrm{e}^{x}+x$ et $(E)~:~y'=\mathrm{e}^{x}+1$\\
$h'(x)=\mathrm{e}^{x}+1$ donc $h$ est solution de $(E)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chaque cas, résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=3x^2-5$\\
$\boxed{\textcolor{red}{y(x)=x^43-5x+k,~k\in\mathbb{R}}}$

\item $y'=\mathrm{e}^{x}+3$\\
$\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\mathrm{e}^{x}+3x+k,~k\in\mathbb{R}}}$.

\item $y'=-3\mathrm{e}^{-3x}+7$\\
$\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\mathrm{e}^{-3x}+7x+k,~k\in\mathbb{R}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chaque cas, résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=x^2-5x+3$ et $y(0)=2$\\
$y(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+3x+k,~k\in\mathbb{R}$.\\
$y(0)=2\Leftrightarrow k=2$ donc la solution de cette équation différentielle vérifiant $y(0)=2$ est :\\
$\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+3x+2}}$.

\item $y'=\mathrm{e}^{x}+1$ et $y(0)=3$\\
$y(x)=\mathrm{e}^{x}+x+k$.\\
$y(0)=3\Leftrightarrow 1+k=3\Leftrightarrow k=2$ donc :\\
$\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\mathrm{e}^{x}+x+2}}$.

\item $y'=\mathrm{e}^{3x+2}$ et $y(0)=1$\\
$y(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x+2}+k,~k\in\mathbb{R}$.\\
$y(0)=1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{2}+k=1\Leftrightarrow k=1-\mathrm{e}^{2}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x+2}+1-\mathrm{e}^{2}}}$.
\end{enumerate}

\section*{\textcolor{red}{Primitives}}

\subsection{}
Trouver dans chaque cas, toutes les primitives de la fonction proposée sur l'intervalle donné :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=6$ sur $\mathbb{R}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{F(x)=6x+k,~k\in\mathbb{R}}}$.

\item $g(x)=5x+3$ sur $\mathbb{R}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{G(x)=\dfrac{5}{2}x^2+3x+k,~k\in\mathbb{R}}}$.

\item $h(x)=3\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{H(x)=3\mathrm{e}^{x}+k,~k\in\mathbb{R}}}$.


\item $k(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{K(x)=\ln(x)+k,~k\in\mathbb{R}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=4x^3-2x^2+12x-5$.\\
%Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est : $\boxed{\textcolor{red}{F(x)=x^4-\dfrac{2}{3}x^3+6x^2-5x}}$

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{5}{x^2}$.\\
%Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ est : $F(x)=2\times \left(-\dfrac{1}{2x^2}\right)-5\times \left(-\dfrac{1}{x}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{5}{x}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère l'équation différentielle $(E)~:~y'=\ln(x)$.
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $F(x)x\ln(x)-x$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
$F(x)=x\ln(x)-x$.\\
$F=u-u$ avec $\begin{cases}u(x=x\\v(x)=\ln(x))\end{cases}$.\\
$F'=u'v+uv'-u'$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=\dfrac{1}{x}\end{cases}$.\\
$F'(x)=1\times \ln(x)=x\times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)+1-1=\ln(x)$ donc $F$ est bien solution de l'équation différentielle $y'=\ln(x)$.

\item %En déduire toutes les primitives de $f : x\mapsto \ln(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
$F$ est donc une primitive de $f: : x\mapsto \ln(x)$.\\
Toutes les primitives sont les fonctions $ x\mapsto F(x)+k,~k\in\mathbb{R}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{ x\mapsto x\ln(x)+x+k,~k\in\mathbb{R}}} $

\item %Déterminer l'unique primitive $G$ de $f$ vérifiant $G(1)=2$.
L'unique primitive $G$ de $f$ vérifiant $G(1)=2$ est $G(x)=x\ln(x)-x+k$.\\
$G(1)=2\Leftrightarrow -1+k=2\Leftrightarrow k=3$ car $\ln(1)=0$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{G(x)=x\ln(x)-x+3}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chaque cas, vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle donné :
\begin{enumerate}[a)]
\item $F(x)=x^4-2x^3+5x^2-7x+2$ et $f(x)=4x^3-6x^2+10x-7$ sur $\mathbb{R}$.\\
$F'(x)=4x^2+2\times 3x^2+5\times 2x-7=4x^3-6x^2+10x-7=f(x)$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

\item $F(x)=x^2+2\sqrt{x}$ et $f(x)=2x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$F'(x)=2x+\cancel{2}\times \dfrac{1}{\cancel{2}\sqrt{x}}=2x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=f(x)$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

\item $F(x)=\dfrac{3x-2}{5x+7}$ et $F(x)=\dfrac{31}{(5x+7)^2}$ sur $\left]-\dfrac{7}{5}~;~+\infty\right[$\\
$F=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=3x-2\\v(x)=3x+7\end{cases}$.\\
$F'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=3\\v'(x)=5\end{cases}$.\\
Alors : $F'(x)=\dfrac{3(5x+7)-5(3x-2)}{(5x+7)^2}=\dfrac{14x+21-15x+6}{(5x+7^2)}=\dfrac{31}{(5x+7)^2}=f(x)$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

\item $F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x-5}$ et $F(x)=\mathrm{e}^{3x-5}$ sur $\mathbb{R}$.\\
$F'(x)=\dfrac{1}{3}\times \left[3\mathrm{e}^{3x-5}\right]=\mathrm{e}^{3x-5}=f(x)$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{VRAI OU FAUX}}
Pour chacune des propositions suivantes, indiqué si elle est vrai ou fausse et justifier la réponse?.
\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction carré est une primitive de la fonction $x\mapsto 2x$.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : Si $F(x)=x^2$, $F'(x)=2x$.

\item La fonction carré est une primitive de la fonction $x\mapsto 2x+1$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : SI $F(x)=x^2$, $F'(x)=2x\neq2x+1$.

\item La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ admet pour primitive sur $]0~;~+\infty[$ la fonction $x : x\mapsto -\dfrac{1}{x^2}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} :  La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ admet pour primitive sur $]0~;~+\infty[$ la fonction $x\mapsto \ln(x) $.

\item La fonction $x\mapsto x^3-x^2-\mathrm{e}^{-x} $ est la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto 3x^2-2x+\mathrm{e}^{-x} $ qui vaut -1 en 0.\\
Posons $f(x)=3x^2-2x+\mathrm{e}^{-x}$.\\
Les primitives sont les fonction  $F : x\mapsto x^3-x^2+\mathrm{e}^{-x}+k,~k\in\mathbb{R}$?\\
$F(0)=-1\Leftrightarrow 1+k=-1\Leftrightarrow k=-2$.\\
La fonction $x\mapsto x^3-x^2-\mathrm{e}^{-x} $ est bien une primitive de la fonction $f$ mais ne vaut pas -1 en 0.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$  par \\
$f(x)=\sqrt{x}$.\\
%Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
Soit $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$F'(x)=\dfrac{2}{3}\left[1\times \sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right]=\dfrac{2}{3}\left[1\times \sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right]=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{2}=\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}}\times \dfrac{\cancel{3}\sqrt{x}}{\cancel{2}}=\sqrt{x}$ donc $F$ est bien une primitive de $f$.

\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles $y'=ay+b$}}


\subsection{}
Résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'-4y=0\Leftrightarrow y'=4y\Leftrightarrow y'=ay$ avec $a=4$.\\
Les solutions sont les fonctions $\boxed{\textcolor{red}{f_k : x\mapsto k\mathrm{e}^{4x},~k\in\mathbb{R}}}$.

\item $5y'+4y=0\Leftrightarrow y'=-\dfrac{4}{y}\Leftrightarrow y'=ay$ avec $a=-\dfrac{4}{5}$
Les solutions sont les fonctions $\boxed{\textcolor{red}{f_k : x\mapsto k\mathrm{e}^{-\dfrac45 x},~k\in\mathbb{R}}}$.

\item $y'=-4y+3$

\item $y'=\dfrac{1}{3}y-1\Leftrightarrow y'=ay+b$ avec $\begin{cases}a=\dfrac{1}{3}\\b=-1\end{cases}$.\\
Les solutions sont les fonctions $f_k : x\mapsto k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a},~k\in\mathbb{R}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f_k(x)=k\mathrm{e}^{\frac13 x}+3}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations différentielles suivantes en tenant compte de la condition initiale proposée :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=3y$ et $y(0)=1$\\
On a une équation de la forme $y'=ay$ avec $a=3$.\\
Les solutions sont les fonctions $\boxed{\textcolor{red}{y : x\mapsto k\mathrm{e}^{3x},~k\in\mathbb{R}}}$.\\
$y(0)=1\Leftrightarrow k=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\mathrm{e}^{3x}}}$

\item $y'=-2y$ et $y(0)=-1$.\\
On a une équation de la forme $y'=ay$ avec $a=-2$.\\
Les solutions sont les fonctions $\boxed{\textcolor{red}{y : x\mapsto k\mathrm{e}^{2x},~k\in\mathbb{R}}}$.\\
$y(0)=-1\Leftrightarrow k=-1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=-\mathrm{e}^{-2x}}}$


\item $y'-2y-1=0$ et $y(0)=1$.\\
$'-2y-1=0\Leftrightarrow y'=2y+1$
On a une équation de la forme $y'=ay+b$ avec $\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$.\\
Les solutions sont les fonctions $\boxed{\textcolor{red}{y : x\mapsto k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a},~k\in\mathbb{R}}}=k\mathrm{e}^{2x}-\dfrac{1}{2}$.\\
$y(0)=1\Leftrightarrow k-\dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow k=\dfrac{3}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y(x)=\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{3}{2}}}$

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  