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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{ \textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ Correction de la feuille d'exercices (dérivation) \no 3}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x^2 - 11x+ 12$.

\begin{enumerate}
\item  %Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée $f'$.
$f$ est dérivable comme fonction polynôme (ou somme et produit de fonction dérivables).\\
$f'(x)=5\times 2x-11=\boxed{\textcolor{red}{10x-11}}$

\item %Étudier, pour tout réel $x$, le signe de $f'(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{10}$

\item $f'(x)>0\Leftrightarrow x>\dfrac{10}{11}$ (en résolvant l'inéquation ou en remarquant que la fonction $f'$ est affine croissante, puisque son coefficient directeur est positif.)
\end{enumerate}

\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. 
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation }}:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{10}{11}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\dfrac{742}{121}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Les limites à l'infini se trouvent en mettant $x^2$ en facteur.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{5\right\}$ par \\
$h(x) = 7-\dfrac{10}{5-x}$. 

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $h$ est dérivable sur $\mathscr{D}$, et déterminer sa fonction dérivée $h'$.
$h$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables.\\
$h(x)=7-10\times \dfrac{1}{5-x}$ donc $h=7-10\times \dfrac{1}{u}$\\
 avec $u(x)=5-x$.\\
On en déduit : $h'=0-10\times \left(\dfrac{1}{u}\right)'=-10\left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)$ avec $u'(x)=-1$.\\
Par conséquent : $h'(x)=-10\times \left(-\dfrac{1}{(5-x)^2}\right)=\dfrac{10}{(5-x)^2}$.

\item %Étudier, pour tout réel $x\neq 5$, le signe de $h'(x)$.
Pour tout $x\neq 5$, $\boxed{\textcolor{red}{h'(x)>0}}$

\item %En déduire les variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{5\right\}$. 
On en déduit que $h$ est croissante sur $]-\infty~;~5[$ et sur $]5~;~+\infty[$.

\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \\
$g'(x) =\dfrac{2}{3}x^3 +3x^2 + 56x - 24$. 

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée $g'$.
$g$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivabmes(ou comme fonction polynôme).\\
$g'(x)=\dfrac{2}{3}\times 3x^2+3\times 2x+56=\boxed{\textcolor{red}{2x^2+6x+56}}$

\item %Étudier, pour tout réel $x$, le signe de $g'(x)$.
$g'(x)$ est un trinôme du second degré.\\
$\Delta=6^2-4\times 1\times 56=36-224<0$.\\
$g'(x)$ est alors du signe du coefficient de $x^2$, 2, donc positif pour tout $x\in\mathbb{R}$.\\
Pour tout $x$, $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)>0}}$

\item %En déduire les variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. 
On en déduit que $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\end{enumerate}



\subsection{}
%Même exercice que le précédent avec la fonction $g : x\mapsto  \dfrac{1}{3}x^3 + 2x$.
$g$ est dérivable comme fonction polynôme.\\
Pour tout $x$, $g'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2+2=\boxed{\textcolor{red}{x^2+2>0}}$ donc $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\subsection{}
 %Même exercice que le précédent avec la fonction \\
% $g : x\mapsto - 2x^3+x^2+ 8x- 7.$ 
Soit $g : x\mapsto 2x^3+x^2+ 8x- 7$.\\
$g$ est une fonction polynôme donc dérivable.\\
Pour tout $x$, $g'(x)=2\times 3x^2+8=6x^2+2x+8$.\\
$6x^2+2x+8=ax^2+bc+c$ avec $\begin{cases}a=6\\b=2\\c=8\end{cases}$.\\
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 6\times 8=4-192<0$.\\
Le trinôme du second degré est donc du signe de $a=6>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ donc $g'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$.\\
$g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $\mathbb{R}$.
\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -4x^3+ 9x$.
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme.\\
$f'(x)=-4\times 3x^2+9=-12x^2+9=-3\left(4x^2-3\right)\\
=-3\left[(2x)^2-\sqrt{3^2}\right]=\boxed{\textcolor{red}{-3\left(2x+\sqrt{3}\right)\left(2x-\sqrt{3}\right)}}$.

\item %Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x)$  a deux racines : $x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\\
$f'(x)$ est un trinôme du second degré qui a deux racines ; il est du signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle  formé par les racines et du signe opposé à celui de $a$ entre les racines avec $\boxed{\textcolor{red}{a=-3<0}}$.\\
On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&-3\sqrt{3}&\c&\h{3\sqrt{3}}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Les limites à l'infini s'obtiennent en mettant $x^3$ en facteur : $f(x)=x^3\left(-4+\dfrac{9}{x^2}\right)$
\item %En déduire que $f$ admet un maximum local en une valeur que l'on déterminera et un minimum local en une autre valeur que l'on déterminera. 
$f$ admet un maximul local, $3\sqrt{3}$, atteint en $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Une entreprise fabrique et vend des montres. Elle en produit chaque jour entre 2 et 24.\\
On note $x$ le nombre de montres produites et vendues par jour.\\
On appelle $C(x)$ le coût total journalier de fabrication en euros.\\
La fonction $C$ est définie par $C(x) =x^2- 4x + \numprint{169}$.\\
On appelle \textbf{coût unitaire moyen} $C_m(x)$ le coût de fabrication d'une montre lorsqu'on en produit $x$.\\
Il est donné par $C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. 

\begin{enumerate}
\item %À quel intervalle $I$ appartient le nombre $x$?
$\boxed{\textcolor{red}{x\in[2~;~24]}}$

\item %Démontrer que la fonction $C_m$ est définie sur $I$ par \[C_m(x)=x-4+\dfrac{169}{x}.\]
Pour tout $x$de $[2~;~24]$, $C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}\\
=\dfrac{x^2-4x+159}{x}=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{4x}{x}+\dfrac{169}{x}=\boxed{\textcolor{red}{x-4+\dfrac{169}{x}}}$

\item %Justifier que $C_m$ est dérivable sur $I$ et déterminer, pour tout réel $x$ de $I$, $C_m'(x)$.
$C_m$ est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables.\\
$C_m(x)=x-4+169\times \dfrac{1}{x}$ donc $C_m'(x)=1+169\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{1-\dfrac{169}{x^2}}}$

\item %Dresser le tableau de signes de $C_m(x)$ sur $I$.
$C_m'(x)=\dfrac{x^2-169}{x^2}=\dfrac{(x-13)(x+13)}{x^2}$ qui est du signe du numérateur $(x-13)(x+13)$.\\
Cette expression a deux racines, -13 et 13 ; c'est un trinôme du second degré, qui est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé entre les racines.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&2&&13&&24\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\dfrac{161}{4}=40,25}&\d&10&\c&\h{\dfrac{11689}{576}\approx 20,3}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire le nombre de montres que l'entreprise doit fabriquer pour avoir un coût moyen minimal. 
L'entreprise doit fabriquer 13 montres pour avoir un coût moyen de fabrication  minimum.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathscr{D}=\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right[ \cup \left]-\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[$ par : \[g(x)=\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{2x+3}.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathscr{D}$, et montrer que, pour tout réel $x$ de $\mathscr{D}$, $g'(x) =\dfrac{x^2+3x-\frac74}{(2x+3)^2}$.
$g(x)=\dfrac{1}{4}x+2\times \dfrac{1}{2x+3}$.\\
$g=\dfrac{1}{4}u+2\times \dfrac{1}{v}$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=2x+3$.\\
$g'=\dfrac{1}{4}u'+2\times \left(1\right)'=\dfrac{1}{4}u'+2\times \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=2$.\\
Par conséquent : \\
$g'(x)=\dfrac{1}{(4}-2\times \dfrac{2}{(2x+3)^2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{(2x+3)^2}=\dfrac{(2x+3)^2-16}{4(2x+3)^2}=\dfrac{4x^2+12x+9-16}{4(2x+3)^2}=\dfrac{4x^2+12x-7}{4(2x+3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2+3x-\frac74}{4(2x+3)^2}}}$

\item %Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathscr{D}$.
On remarque que : $g'(x)=\dfrac{(2x+3)^2-16}{4(2x+3)^2}=\dfrac{(2x+3)^2-4^2}{4(2x+3)^2}=\dfrac{(2x+3+4)(2x+3-4)}{4(2x+3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{4(2x+3)^2}}}$.\\
Le dénominateur est positif donc cette fraction est du signe du numérateur.\\
Celui-ci est un polynôme du second degré. Il s'annule en $-\dfrac{7}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$. Il et du signe du coefficient de $x^2$ (4>0) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé entre les racines.\\

\item %En déduire les variations de $g$ sur $\mathscr{D}$ et dresser son tableau de variation. 
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} : \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On voit \og{}facilement\fg{} que $\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty$ car $\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x}{4}=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2}{2x+3}\right)=0$.

\item De même : $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{3}{2}\\x<-\frac32}}\left(\dfrac{x}{4}\right)=-\dfrac{3}{8}$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac32\\x<-\frac32}}(2x+3)=0$ avec $2x+3<0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac32\\x<-\frac32}}\left(\dfrac{2}{2x+3}\right)=-\infty$.\\
Donc : $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac32\\x<-\frac32}}g(x)=-\infty$.

\item De même : $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac32\\x>-\frac32}}=+\infty$ car $(2x+3)>0$ pour $x$ proche de $-\dfrac{3}{2}$avec $x>-\dfrac{3}{2}$.
\end{enumerate}
On en déduit le tableau de variation 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{7}{2}&&&-\dfrac{3}{2}&&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\c&\h{-\dfrac{11}{8}}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&\dfrac{5}{8}&\c&\h{\pI}
\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : puisque $\lim_{x\rightarrow -\dfrac{3}{2}}g(x)=\pm\infty$, la droite d'équation $x=-\dfrac{3}{2}$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Courbe (non demandée) }}:
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-10,-8)(10,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-10,-8)(10,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-10,-8)(10,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-10}{-1.63}{x/4+2/(2*x+3)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.35}{10}{x/4+2/(2*x+3)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-1.5,-8)(-1.5,6)
\uput[d](7,2){$\mathscr{C}_g$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-3.5,-1.375)(0.5,0.625)
\psline[linewidth=2pt]{<->}(-4,-1.375)(-3,-1.375)
\psline[linewidth=2pt]{<->}(0,0.625)(1,0.625)
\end{pspicture}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}  