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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'exercice bac ES Amérique du Nord juin 2019}}\end{center}

\begin{enumerate}
	\item En février, un mois se sera écoulé, donc $n=1$. $u_1=0,9u_0+42=0,9\times 280+42=\boxed{\textcolor{red}{294}}$
	\item Pour tout entier naturel $n$,	on a $v_n=u_n-420$
	\begin{enumerate}
		\item $\forall n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-420=0,9u_n+42-420=0,9u_n-378=0,9\left(u_n-\dfrac{378}{0,9}\right)=0,9(v_n-420)=\boxed{\textcolor{red}{0,9v_n}}$.
		
	La suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme\\$v_0=u_0-420=\boxed{\textcolor{red}{-140}}$
		\item $\forall n\in \mathbb{N}$, $v_n = v_0\times q^n = -140\times0,9^n$. De plus $u_n =v_n + 420$ donc $u_n =\boxed{\textcolor{red}{ -140\times 0,9^n + 420}}$.
		\end{enumerate}
	\item La raison de la suite $(v_n)$ appartient à l'intervalle $]-1;1[$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=0}}$. 
	
Or $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_n=v_n+420$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=420$.
	
Cela signifie qu'au bout d'un certain nombre de mois, le nombre de véhicules loués va se rapprocher de 420.
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item L'algorithme de seuil complété :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|} \hline 
$N\gets 0$\\ 
$U\gets 280$\\ 
Tant que $U\leqslant 380$\\ 
\hspace{1cm} $N\gets N+1$\\ 
\hspace{1cm} $U\gets0,9\times U+42$\\ 
Fin Tant que\\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
		\item À l'aide de la calculatrice, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{u_{11}\approx 376,1}}$ et  $\boxed{\textcolor{red}{u_{12}\approx 380,5}}$.
		
La variable $N$ contient la valeur 12 à la fin de l'exécution de l'algorithme.
		\item C'est donc en janvier 2020 (12 mois après janvier 2019) que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
	\end{enumerate}
%	\item $ -140\times 0,9^n+420>380 \iff -140\times 0,9^n>-40 \iff 0,9^n< \dfrac{2}{7}\iff n\ln 0,9<\ln \dfrac{2}{7} \iff n> \dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}$
	
%et $\dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}\approx 11,89$ donc $n\geqslant 12$. On retrouve bien la valeur obtenue à la question 3. b. avec l'algorithme. 
C'est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  