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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques complémentaires : correction des exercices sur les variations de suites (feuille 1bis)}}\end{center}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_{n+1}=u_n-n-2$.\\
%Étudier le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=-n-2<0$ donc la suite est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.


\subsection{}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Étudier le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=\dfrac{(n+1)^2+1}{2(n+1)^2}-\dfrac{n^2+1}{2n^2}=\dfrac{n^2\left[(n+1)^2+1\right]-(n+1)^2\left(n^2+1\right)}{2n^2(n+1)^2}\\
=\dfrac{n^2\left(n^2+2n+2\right)-\left(n^2+2n+1\right)\left(n^2+1\right)}{2n^2(n+1)^2}=\dfrac{n^4+2n^3+2n^2-\left[n^4+n^2+2n^3+2n+n^2+1\right]}{2n^2(n+1)^2}\\
=\dfrac{n^4+2n^3+2n^2-n^4-n^2-2n^3-2n-n^2-1}{2n^2(n+1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-2n-1}{2n^2(n+1)^2}}}<0$ donc $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}

\item %Montrer que, pour tout $n$, $u_n\leqslant 1$.
Pour tout $n$, $u_n-1=\dfrac{n^2+1}{2n^2}-1=\dfrac{n^2+1-2n^2}{2n^2}=\dfrac{1-n^2}{2n^2}\leqslant 0$ pour $n\geqslant 1$, donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n\leqslant 1}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{2-n}{2+n}$.\\
%Étudier le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=\dfrac{2-(n+1)}{2+(n+1)}-\dfrac{2-n}{2+n}=\dfrac{1-n}{3+n}-\dfrac{2-n}{2+n}=\dfrac{(1-n)(2+n)-(3+n)(2-n)}{(2+n)(3+n)}\\
\dfrac{2+n-2n-n^2-\left[6-3n+2n-n^2\right]}{(3+n)(2+n)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-4}{(3+n)(2+n)}<0}}$ ; $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=n+\dfrac{1}{n}$.\\
%Étudier le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{(n+1)^2+1}{n+1}-\left(\dfrac{n^2+1}{n}\right)=\dfrac{n\left[n^2+2n+2\right]-(n+1)\left(n^2+1\right)}{n(n+1)}\\
=\dfrac{n^3+2n^2+2n-n^3-n-n^2-1}{n(n+1)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n^2+n-1}{n(n+1)}}}$\\
Étudions le signe de $n^2+n-1$.\\
$\Delta=5>0$.\\
Il y a deux racines : $n_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}<0$ et $n_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,6$.\\
$n^2+n-1$ est donc positif pour $n>n_2$, c'est-à-dire pour $n\geqslant 1$.\\
La suite est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n\geqslant  0$ par $u_{n+1} = u_n + 2n - 3$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Montrer que $u_3 = -2$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_0+0-3=-3$

\item $u_2=u_1+2-3=-4$

\item $u_3=u_2+4-3=\boxed{\textcolor{red}{-3}}$
\end{enumerate}

\item %Démontrer que cette suite est croissante à partir d’un rang que l’on précisera.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=2n-3$ et $2n-3\geqslant 0\iff n\geqslant \dfrac{3}{2}=1,5$.\\
Donc $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ à partir de $h=2$.\\
La suite est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} à partir de $n=2$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par \\
$u_0=-2$ et $u_{n+1}=u_n^2-u_n+2$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, pour tout $x$ réel, \\
%$x^2-2x+1=(x-1)^2+1$
$(x-1)^2+1=\left(x^2-2x+1\right)+1=x^2-2x+2$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{x^2-2x+1=(x-1)^2+1}}$

\item %Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=\left(u_n^2-u_n+2\right)-u_n=u_n^2-2u_n+2\\
=\left(u_n-1\right)^2+1>0$ puisque le carré d'un réel est positif.\\
La suite est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  