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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les sommes de termes consécutifs de suites arithmétiques et géométriques}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ arithmétique de premier terme 3 et de raison 2.\\
Déterminer la valeur de la somme : \[S_{34} = u_0 + u_1 +\cdots+ u_{34}.\]

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison $\dfrac{1}{4}$.\\
Déterminer la somme S définie par : \[S = u_{11} + u{12}+\cdots + u{25}.\]

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ géométrique de premier terme 2 et de raison 2.\\
Déterminer la somme $S$ des 100 premiers termes.


\
\subsection{}%https://www.annales2maths.com/tag/somme-de-termes-dune-suite-geometrique/
En 2012, un artisan batelier a transporté  300 tonnes de marchandises sur sa péniche.\\
Il augmente sa cargaison chaque année de 11\:\% par rapport à l’année précédente.\\
On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l’artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$  où, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en $(2012+n)$.\\
Ainsi . $u_0=300$.


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}\item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$  et préciser sa raison.

\item Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}

\item Le batelier décide qu’à partir de \numprint{1000}  tonnes transportées dans l’année, il achètera une péniche plus grande.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{4cm}
$u=300$\\
$n=0$\\
while $\makebox[20mm]{\dotfill}$ :\\
\hspace{1cm}$u=\cdots$\\
\hspace{1cm}$n=n+1$
\end{minipage}}
\end{center}

\item En quelle année changera-t-il de péniche ?
\end{enumerate}

\item Une tonne transportée est payée au batelier 15~\euro.\\
La proposition :  \og{}Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera supérieur à  \numprint{70000} \euro\fg{} est-elle vraie ?\\
Justifier la réponse.

\end{enumerate}

\subsection{}
On s’intéresse à l’évolution du nombre d’abonnés d’un nouveau réseau réseau social dont l’abonnement est payant annuellement.\\
À la fin 2019, le réseau compte exactement 600 personnes abonnées.\\
L’administrateur de la plateforme prévoit chaque année que 20\:\% des anciens abonnés ne se réabonnent pas, et que \numprint{2000} nouvelles personnes s’abonnent.\\
On note $u_n$ le nombre d’abonnés sur la plateforme en $2019 + n$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Combien y aura-t-il d’abonnés en 2020 ?

\item Donner la valeur de $u_0$ et $u_1$.

\item Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8u_n + \numprint{2000}$.

\item On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = u_n-\numprint{10000}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Justifier que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

\item Déterminer la valeur de $v_0$.

\item En déduire l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Combien d’abonnés l’administrateur prévoit-il en 2050 ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  
