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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les sommées de termes consécutifs}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ arithmétique de premier terme 3 et de raison 2.\\
%Déterminer la valeur de la somme : $S = u_0 + u_1 +\cdots+ u_{34}$.
$S=u_0 + u_1 +\cdots+ u_{34}=(n+1)u_0+\dfrac{n(n+1)}{2}r$ avec $n=34$.\\
Donc $S=35\times 3+\dfrac{34\times 35}{2}\times 2=105+\numprint{1190}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1295}}}$.

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison $\dfrac{1}{4}$.\\
%Déterminer la somme S définie par : $S = u_{11} + u{12}+\cdots + u{25}$.
$S=u_{11} + u{12}+\cdots + u{25}$.\\
On sait que $u_p+\cdots+u_n=(n-p+1)\left(\dfrac{u_p+u_n}{2}\right)$.\\
Alors : $S=(25-11+1)\times \dfrac{u_ {11}+u_ {25}}{2}\\
=15\times \dfrac{\left(2+11\times \frac14\right)+\left(2+25\times \frac14\right)}{2}=15\times \dfrac{13}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{195}{2}}}$.

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ géométrique de premier terme 2 et de raison 2.\\
%Déterminer la somme $S$ des 100 premiers termes.
La somme $S$ des 100 premiers termes est :\\
$S=u_0+\cdots+u_{99}=u_0\times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$ avec $u_0=2$, $q=2$ et $n=99$.\\
$S=2\times \dfrac{2^{100}-1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2^{100}-1}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{S=\numprint{1267650600228229401496703205375}.}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{S\approx \approx 1,27\times 10^{30}}}$.


\subsection{}%https://www.annales2maths.com/tag/somme-de-termes-dune-suite-geometrique/

\begin{enumerate}
\item On a un taux d'évolution $t=1,5\:\%$.\\
Le coefficient multiplicateur associé est : $\boxed{\textcolor{red}{C=1+t=1,015}}$.\\
Rappel : $u_n$ est en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item On a $u_1=u_0\times C=1,015\times 50=\boxed{\textcolor{red}{50,75}}$.

\item En février 2018, on compte donc \numprint{50750} créations d’entreprise.

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$,  on a \\
$u_ {n+1}=1,015u_n$.\\
La suite  est donc géométrique de raison $q=1,015$ et de premier terme .$u_0=50$.

\item Pour tout entier naturel $n$,  on a donc . \\
$u_n=u_0\times q^n$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u_n=50\times 1,015^n}}$.

\item On calcule : \\
$S=u_0+\cdots+u_ {11}=u_0\times \dfrac{q^{12}-1}{q-1}\\
=50\times \dfrac{1,015^{11-1}}{1,015-1}\approx 652$.\\
Il y a bien eu environ création de \numprint{652000} entreprises en 2018.
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}%https://www.annales2maths.com/tag/somme-de-termes-dune-suite-geometrique/
En 2012, un artisan batelier a transporté  300 tonnes de marchandises sur sa péniche.\\
Il augmente sa cargaison chaque année de 11\:\% par rapport à l’année précédente.\\
On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l’artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$  où, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en $(2012+n)$.\\
Ainsi . $u_0=300$.


\begin{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
 \item %Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$  et préciser sa raison.
 Le taux d'augmentation est $t=11\:\%$.\\
 Le coefficient multiplicateur associé est : $C=1,11$.\\
 Pour tout $n$, $u_ {n+1}=1,11u_n$.\\
 La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison \\
 $q=1,11$ et de premier terme $u_0=300$.

\item %Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ , on a . $\boxed{\textcolor{red}{u_n=u_0\times q^n=300\times 1,11^n}}$.

\end{enumerate}

%\item Le batelier décide qu’à partir de \numprint{1000}  tonnes transportées dans l’année, il achètera une péniche plus grande.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :
 \begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{4cm}
$u=300$\\
$n=0$\\
while u<1000 :\\
\hspace{1cm}$u=u*1.11$\\
\hspace{1cm}$n=n+1$
\end{minipage}}
\end{center}

\item %En quelle année changera-t-il de péniche ?
$u_ {11}\approx 946<\numprint{1000}$ et $u_ {12}\approx \numprint{1049}>\numprint{1000}$.\\
Par conséquent, le batelier changera de péniche en 2024.

\end{enumerate}

\item Une tonne transportée est payée au batelier 15~\euro.\\
%La proposition :  \og{}Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera supérieur à  \numprint{70000} \euro\fg{} est-elle vraie ?\\
%Justifier la réponse.
Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 est :\\
$15\left(u_0+u_1+\cdots+u_7\right)=15\times 300\times \dfrac{1,11^8-1}{1,11-1}\\
\boxed{\textcolor{red}{\approx \numprint{53367}<\numprint{70000}}}$.\\
La proposition est donc \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.

\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
