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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de révision}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie mars 2012}}

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = x\text{e}^x$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
 
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].
 
Sur la courbe $\mathcal{C}$, tracée en annexe, on a placé les points A et B d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe $\mathcal{C}$. On a placé les points A$'(a~;~0)$ et B$'(1~;~0)$. 

Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $F:x\mapsto (ax+b)\mathrm{e}^{x}$ soit une primitive de $f$.

\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à \[\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right).\]
	 
		\item En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à $\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[g(x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. 

Vérifier que la fonction dérivée seconde $g^{\prime\prime}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $g^{\prime\prime}(x) = (2 + x) \text{e}^x$. 
\item En déduire les variations de la fonction $g^{\prime}$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item Établir que l'équation $g^{\prime}(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$. 
\end{enumerate}

\columnbreak
\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{0,5cm}
 
\psset{xunit=7
cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1.15,\n)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{2.71828 x exp x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{0.5}{2.71828 x exp x mul}
\psline(0.5,0.824361)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.5}{1}{2.71828 x exp x mul}
\psline(1,2.71828)(0.5,0.824361)}
\uput[dr](0.5,0.8244){A}\uput[r](1,2.71828){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.7,1.35){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){A$'$}\uput[dl](1,0){B$'$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.824361)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828)
\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012}}
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, 
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, 
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}
\end{center} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. 
		\item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
		 
Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
	\end{enumerate} 
\item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 		 
\item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2012}}

On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 

\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]

pour différentes valeurs de $n$ : 

\medskip

\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.,-0.0)(1.1,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
\uput[u](0.9,0.53){$f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. 
		\item  Démontrer cette conjecture.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\]

		\item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

\item Soient deux fonctions dérivables sur un un intervalle $I$. Montrer que $uv'=(uv)'-u' v$.
		\item En posant $u(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-nx}$, montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
		
\[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\]
		
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2012}}
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
g(x) = 2x^3-1+2\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}
\]
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$.

étudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$.
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par:
\[
I_n = 2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
\]
\item \begin{enumerate}
\item On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x^2}$.\\
En utilisant la formule $uv'=(uv)'-u'v$,  calculer l'intégrale $\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$.

\item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2012}}
%On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.
%
%L'une $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 à  4.
%
%L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
%
%Un jeu consiste à  tirer un jeton de l'urne $U_1$, à  noter son numéro, puis à  tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton.
%
%On considère les événements suivants:
%\begin{description}
%\item[$J_1$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1\fg
%\item[$J_2$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2\fg
%\item[$J_3$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3\fg
%\item[$J_4$] \og le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4\fg
%\item[$B$] \og toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches\fg
%\end{description}
%\emph{On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question} \textbf{4.b)} \emph{où une valeur arrondie à  $10^{-2}$ suffit.}
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $P_{J_1}(B)$, probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $J_1$ est réalisé.
%
%Calculer de même la probabilité $P_{J_2}(B)$.
%
%On admet dans la suite les résultats suivants:
%\[
%P_{J_3}(B)=\frac{1}{30}\quad\text{et}\quad P_{J_4}(B)=\frac{1}{210}
%\]
%\item Montrer que $P(B)$, probabilité de l'événement $B$, vaut $\dfrac{1}{7}$. On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
%\item On dit à  un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3?
%\item On joue 10 fois de suite à  ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
%\begin{enumerate}
%\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$?
%\item Calculer la probabilité de l'événement $(N=3)$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013}}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.\index{complexes}
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
 
à€ tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].
 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à  (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 

$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$en prenant 2~cm pour unité graphique.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à  l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item à‰crire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  