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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices sur les suites}}
\end{center}

\subsection{}
Monsieur Raymond achète une grosse cylindrée à  $30\,000$ \euro.\\
Madame Viviane achète une berline à  $20\,000$ \euro.\\
Chaque semestre, ces véhicules perdent de leur valeur :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $15\%$ pour la grosse cylindrée ;
\item[$\bullet$] $10\%$ pour la berline.
\end{itemize}

Au bout de combien de semestres la berline de madame Viviane aura-t-elle plus de valeur que la grosse cylindrée de monsieur Raymond ?

Justifier votre réponse. On pourra utiliser la calculatrice.
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\subsection{}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raisons $r$.\\
Soit $S_{n}$ la somme des premiers termes : $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer le terme de rang $p$, $u_{p}$, en fonction de $u_{0}$ et $r$.

\item En rempla\c cant les termes successifs par leurs expressions en fonction de $u_{0}$ et $r$, on a : \\
$S_{n}=u_{0}+\left(u_{0+\cdots}\right)+\left(u_{0}+\cdots\right)+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$ (compléter)

\item Exprimer le terme de rang $p$ $u_{p}$ en fonction de $u_{n}$ et $r$.\\
On en déduit : $u_{n-1}=u_{n}-\cdots$ ; $u_{n-2}=u_{n}-\cdots$

\item En écrivant $S_{n}$ à l'envers : $S_{n}=u_{n}+u_{n-1}+u_{n-2}+\cdots+u_{1}+u_{0}$ et en rempla\c cant chaque terme par l'expression trouvée précédemment, compléter :\\
$S_{n}=u_{n}+\left(u_{n-1}-\cdots\right)+\left(u_{n}-\cdots\right)+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

\item En ajoutant les deux expressions de $S_{n}$, trouver une expression de $2S_{n}$.

\item En déduire que : $S_{n}=(n+1)\times \dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} $(n+1)$ est le nombre de termes de la somme, $u_{0}$ et $u_{n}$ sont les termes extrêmes de la somme.
\end{enumerate}


\subsection{}

Une personne loue une maison à  partir du 1er janvier 2001. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 12 000 \euro{} et le locataire s'engage à  occuper la maison pendant 9 années complètes.
\begin{enumerate}
\item Contrat \no 1 : le locataire accepte une augmentation annuelle de $5\%$ du loyer de l'année précédente.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le loyer $U_1$ payé lors de la deuxième année.
  \item Exprimer $U_n$ (loyer payé lors de la $(n + 1)$ème année) en fonction de $n$.
  \item Calculer $U_8$.
  \end{enumerate}
\item Contrat \no 2 : le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 750 \euro{} du loyer de l'année précédente.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le loyer $V_1$ payé lors de la deuxième année.
  \item Exprimer $V_n$ (loyer payé lors de la $(n + 1)$ème année) en fonction de $n$.
  \item Calculer $V_8$.
  \end{enumerate}
\item Calculer la somme payée à  l'issue des neuf années de contrat dans chacun des deux cas. Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?\\
\textbf{\textcolor{red}{Indications :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour le premier contrat, on utilisera la formule trouvée à l'exercice précédent.

\item Pour le second contrat, on donne la formule suivante : pour $q\neq 1$, $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



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%------------------------------------------------------------------------
\label{fin}
\end{document}  