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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Bac : Antilles-Guyane juin 2015}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.\index{fonction logarithme népérien}

Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a construit en (voir ci-dessous) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.
\item Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de
$\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[h_a(x) = \ln x - ax^2.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle.

Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous.

Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\dfrac{1}{\sqrt{2a}}&&\pI\\
\hline
h_a'(x)&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
\m{h_a(x)}&\bb&\mI&\c&\h{\dfrac{-1-\ln(2a)}{2}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,3.25)
%\psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\frac{1}{\sqrt{2a}}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
%\rput(0.5,2.25){$h'_a(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$}
%\rput(0.5,1){$h_a(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{- 1 - \ln (2a)}{2}$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

		\item Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$.

On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que 

$a = 0,1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution.
		
On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\frac{1}{\sqrt{0,2}}~;~+ \infty \right[$.
		\item Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$.
		\item En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier.
	\end{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ?
\end{enumerate}

\end{multicols}

\begin{center}

\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=12](-0.5,-0.5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(7,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.05 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.1 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.19 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.4 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.4}{7}{x ln}

\end{pspicture*}
\end{center} 


\label{fin}
\end{document}  