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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercice de bac sur un codage affine}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Antilles--Guyane juin  2008}}
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'équation (E) : $11x - 26y = 1$, où $x$ et $y$ désignent deux nombres entiers relatifs.
\begin{enumerate}
	\item  Vérifier que le couple $(-7~;~-3 )$ est solution de (E).
	\item  Résoudre alors l'équation (E).
	\item  En déduire le couple d'entiers relatifs $(u~;~ v)$ solution de (E) tel que $0 \leqslant u \leqslant 25$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A& B& C& D& E& F& G& H& I& J& K& L& M\\ \hline
0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \hline \hline
N& O& P& Q& R& S& T& U& V& W& X& Y& Z\\ \hline
13& 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On \og code \fg{} tout nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
	\item  on calcule $11x+8$
	\item  on calcule le reste de la division euclidienne de $11x +8$ par 26, que l'on appelle $y$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$x$ est alors \og codé \fg{} par $y$.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; $11 \times11+8 = 129$ or $129 \equiv 25 (0\text{ modulo }26)$ ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.
\begin{enumerate}
	\item  Coder la lettreW.
	\item  Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
		\begin{enumerate}
			\item  Montrer que pour tous nombres entiers relatifs $x$ et $j$, on a :
\[11x \equiv j\quad (\text{modulo}~ 26)~ \text{équivaut à}~ x \equiv 19j  (\text{modulo}~26).\]
			\item  En déduire un procédé de décodage.
			\item  Décoder la lettre W.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  