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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices (modèle linéaire)}}\end{center}



\subsection{}
On rappelle qu'une suite $u$ est arithmétique s'il existe $r$ tel que, pour tout $n$, $u(n+1)-u(n)=r$ (différence de termes consécutifs constante)

\begin{enumerate}[a)]
\item 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; 21\\
La différence des termes consécutifs vaut 4, donc ces nombres sont les premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r=4$.

\item 2 ; 9 ; 16 ; 23 ; 27 ; 34\\
$9-2=7$ mais $27-23=4$ : la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante. Ce ne sont pas les premiers termes d'une suite arithmétique.

\item 8 ; 3 ; -2 ; -7 ; -12 :\\
$3-8=-5$~;~$-2-3=-5$~;~$-7-(-2)=-5$~;~$-12-(-7)=-5$.\\
La différence de deux termes consécutifs vaut -5 ; ce sont les premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r=-5$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit u une suite arithmétique de premier terme $u(0) = 2$ et de raison 3.
\begin{enumerate}
\item  %Exprimer, pour tout entier naturel n, u(n) en fonction de $n$.
Pour tout. $n$, $u(n)=u(0)+nr=2+3n$ (ou $3n+2$)

\item %Calculer $u(5)$ et $u(10)$.
Alors : $u(5)=2+3\times 5=2+15=\boxed{\textcolor{red}{17}}$.\\
$u(10)=2+3\times 10=\boxed{\textcolor{red}{32}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Une population a une évolution linéaire. Cette population est de \numprint{352000} individus en 2010 et de \numprint{356000} individus en 2014.\\
%Quelle est la population en 2021 ?
Notons $u(n)$ la population lors de l'année $2010+n$ et $r$ la raison de cette suite.\\
2014 correspond à $n=4$.\\
$u(4)=u(0)+4r=\numprint{352000}+4r$ et $u(4)=\numprint{356000}$.\\
On en déduit $4r=\numprint{356000}-\numprint{352000}=4000$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{r=\numprint{1000}}}$.\\
La population en 2021 est $u(11)=u(0)+11r=\numprint{35200}+11\times \numprint{1000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{36300}}}$.

\subsection{}
La population des Hauts-de-France a augmenté d’environ 9420 par an entre 1990 et 1999. En 1990, la population était de \numprint{5770671}.

\begin{enumerate}
\item %Justifier qu’on est dans une situation où le modèle linéaire est adapté.
Chaque année, on considère que la population augmente du même nombre, donc on a faire à un modèle linéaire.

\item On prend l’année 1990 comme année 0 et on considère la suite u telle que $u(n)$ modélise la population des Hauts-de-France à l’année $n$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l’expression de $u(n)$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
On a donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=u(0)+nr=\numprint{5770671}+9420n}}$.

\item %Calculer la population des Hauts-de-France en 1999.
1999 correspond à $n=9$ ; la population en 1999 est donc $u(9)=\numprint{5770671}+9\times \numprint{9420}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5855451}}}$.

\item En 2008, la population des Hauts-de-France est \numprint{5931091}. 
%L’évolution de la population semble-t-elle suivre le même modèle au-delà de 1999 ?
2008 correspond alors à $n = 18$, on calcule alors :
$u(18)=\numprint{5770671}+9420\times 18=\numprint{5940231}$.\\
On remarque que le modèle surévalue le nombre d’habitants de 9 140, soit presque une année supplémentaire de croissance linéaire.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Le tableau suivant donne les nombres de mariages entre personnes de sexes différents en France entre 2005 et 2015.

\scriptsize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
année&2005&2006&2007&2008&2009&2010\\
\hline
population&\numprint{283036}&\numprint{273914}&\numprint{273669}&\numprint{265404}&\numprint{251478}&\numprint{252654}\\
\hline
\hline
année&2011&2012&2013&2014&2015&\\
\hline
population&\numprint{236826}&\numprint{245930}&\numprint{231225}&\numprint{230770}&\numprint{228565}&\\
\hline
\end{tabularx}    
\normalsize
    On a représenté sur le graphique suivant le nombre de mariages entre personnes de sexes différents entre 2005 et 2015, en prenant 2005 comme année 0.\\
    On souhaite modéliser cette évolution par un modèle linéaire. Pour cela, on a également tracé sur le graphique la droite d’ajustement linéaire.
    
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,1.9)(11,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1,Ox=0,Oy=2]{->}(0,2)(0,2)(10,3)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline(\n,2)(\n,3)}
\multido{\r=2+.1}{11}{\psline(0,\r)(10,\r)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=blue](0,2.83036)(1,2.73914)(2,2.73669)(3,2.65404)(4,2.51478)(5,2.52654)(6,2.36826)(7,2.4593)(8,2.31225)(9,2.3077)(10,2.28565)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{10}{-0.05689*x+2.806}
\uput[u](0,3){Centaines de milliers}
\uput[r](10,2){Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement l’ordonnée à l’origine de cette droite.
L’ordonnée à l’origine de cette droite est (approximativement) 2,8.


\item %Calculer une valeur approchée du coefficient directeur de cette droite.
La droite passe (approximativement) par les points A(0 ; 2,8) et B(5 ; 2,53) (qui correspond à l’année 2011) donc le coefficient directeur est à peu près : $a=\dfrac{2,53-2,8}{5-0}\approx \boxed{\textcolor{red}{-0,054}}$

\item À la calculatrice, on trouve comme équation de la droite d'ajustement linéaire : $y=-\numprint{0,05689}x+2,806$.\\
%Estimer le nombre de mariages entre personnes de sexes différents en France 2018.
$2018=2005+13$ ; on remplace $x$ par 13 dans l'équation précédente.\\
On trouve $\boxed{\textcolor{red}{y=0,05689\times 13+2,806=2,06643}}$.\\
Selon cette droite d'ajustement, le nombre de mariages serait donc de $\numprint{2,06643}$ centaines de milliers, donc environ \numprint{206643} mariages.

\item L’INSEE estime le nombre de mariages entre personnes de sexes différents à \numprint{228349} en 2019.\\
%Que peut-on en déduire ?
$\numprint{228349}\approx 2,28$ centaines de milliers.\\
$\dfrac{2,28349-2,06643}{2,06643}\approx 0,105\approx 10,5\:\%$ .\\
L'écart entre le résultat obtenu par cet ajustement et les prévisions de l'INSEE est assez important.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  
