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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Loi de Hardy-Weinberg}}\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Godfrey Harold Hardy est un mathématicien britannique, né le 7 février 1877 à Cranleigh (comté de Surrey) et mort le 1er décembre 1947 à Cambridge.

\item Wilhelm Weinberg : médecin allemand (1862-1937)
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Hypothèses}}
On considère deux allèles $A$ et $a$ chez les individus d'une population.\\
On suppose qu'on a :
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item une population de grande taille

\item qu'il n'y a aucune migration

\item pas de mutation sur les allèles concernés.

\item pas de sélection naturelle.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Loi de Hardy-Weinberg}}

Alors : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On note $p=f(A)$ la fréquence de l'allèle $A$ ;

\item On note $q=f(a)$ la fréquence de $a$.

\item On peut en tirer des renseignements sur le génotype à la génération. suivante.\\
On peut avoir les génotypes $AA$, $aa$, $Aa$ et $aA$.\\
On peut calculer leurs fréquences d'apparition à l'aide d'un tableau de croisement :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Allèle $A~(p)$&Allèle $a~(q)$\\
\hline
Allèle $A~(p)$&$AA~\left(p^2\right)$&$Aa~(pq)$\\
\hline
Allèle $a~(q)$&$aA~\left(pq\right)$&$aa~\left(q^2\right)$\\
\hline
\end{tabularx}
On en déduit que la fréquence d'apparition de $Aa$ est $2pq$.
\end{enumerate}

\bigskip

La fréquence allélique de $A$ est $p'=p^2+pq=p(p+q)=p\times 1=p$ et celle de $a$ est $q'=q^2+pq=q(p+q)\\
=q\times 1=q$.\\
Ces fréquences restent les mêmes d'une génération à la suivante (\textcolor{red}{loi de Hardy-Weinbreg}).

\subsection{\textcolor{blue}{Exemple}}%https://www.youtube.com/watch?v=pPNm1RHu-fY
Imaginons une population d'oiseaux qui présente une diversité de couleur au niveau de leur plumage.\\
La couleur du plumage est contrôlé par un gène, qui présente deux allèles.\\
L'allèle $J$, dominant, confère la couleur jaune aux plumes ; l'allèle $R$, récessif, quant à lui confère la couleur rouge aux plumes.\\
Alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les homozygotes $JJ$ sont jaunes

\item Les hétérozygotes $JR$ sont jaunes

\item Les homozygotes récessifs $RR$ sont rouges.
Prenons comme exemple une population de 100 oiseaux composée ainsi : 53 oiseaux jaunes homozygotes $JJ$, 	42 oiseaux jaunes hétérozygotes $JR$ et 5 poseaux rouges homozygotes $RR$.
\end{enumerate}

Calculons les fréquences génotypiques : on calcule le nombre d'individus d'un génotype qu'on divise par le nombre d'individus.\\
On obtient : $f(JJ)=\dfrac{53}{100}=0,53$ ; $f(JR)=\dfrac{42}{100}=0,42$ et $f(RR)=0,05$.\\
Calculons les fréquences alléliques :\\
On note $p$ la fréquence de $J$ et $q$ celle de $R$.\\
$p=\dfrac{\text{Nombre d'allèles }J \text{dans la population} }{\text{Nombre total d'allèles dans la population }}=\dfrac{2\times \text{nombre}(JJ)+\text{nombre}(JR)}{2\times \text{nombre d'individus}}=\dfrac{2\times 53=42}{2\times 100}=0,74$.\\
De même : \\
$q=\dfrac{\text{Nombre d'allèles }R \text{ dans la population} }{\text{Nombre total d'allèles dans la population }}=\dfrac{2\times \text{nombre}(RR)+\text{nombre}(JR)}{2\times \text{nombre d'individus}}=\dfrac{2\times 5+42}{2\times 100}=0,26$.\\
On remarque que l'on a bien : $p+q=1$.\\
Le modèle deHardy-Weinberg prévoit que les fréquences génotypiques peuvent se calculer de la façon suivante :\\
$p^2+2pq+q^2=1$\\`
Comparons les fréquences réelles avec celles prévues par ce modèle.\\
Par le modèle, on obtient : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(JJ)=p^2=0,74^2=\numprint{0,5476}$

\item $f(JR)=2pq=2\times 0,74\times 0,26=\numprint{0,3848}$

\item $p(RR)=q^2=0,26^2=\numprint{0,0676}$
\end{enumerate}

\noindent On remarque que : $\numprint{0,5476}\neq 0,53$ ; $\numprint{0,3848}\neq 0,42$ et $\numprint{0,0676}\neq 0,05$ (même si ce sont des valeurs proches).\\
Le système étudié ne semble pas \textbf{\textcolor{red}{pas à l'équilibre de Hardy-Weinberg}} pour ce gène.\\
On en déduit qu'au moins une des conditions nécessaires au modèle n'est pas respectée.
\label{fin}
\end{document}  