\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les intervalles de fluctuation et intervalles de confiance}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{intervalles de fluctuation}}

\subsubsection{}
Cette année, 55\:\% des candidats à un concours l’ont réussi, ainsi $p = 0,55$. Dans le centre A, sur 100 personnes, 46 ont réussi le concours.\\
Dans le centre B, sur \numprint{2500} personnes, \numprint{1275} ont réussi le concours.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence $f_1$ correspondant au pourcentage de réussite du centre A ?\\
Quelle est la fréquence $f_2$ correspondant au pourcentage de réussite du centre B ?\\
Lequel de ces deux centres semble avoir le mieux réussi le concours ?

\item On assimile le centre A à un échantillon de taille $n = 100$. Donner l’intervalle de fluctuation au seuil de 95\:\%.\\
$f_1$ appartient-il à cet intervalle ?

\item On assimile le centre B à un échantillon de taille $n = \numprint{2500}$. Donner l’intervalle de fluctuation au seuil de 95\:\%.\\
$f_2$ appartient-il à cet intervalle ?

\item Conclure sur le centre qui est le plus représentatif du résultat national à ce concours.


\subsubsection{\textcolor{red}{Affaire Partida}}
L’ensemble des faits évoqués ci-dessous est réel.\\
En novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était condamné à huit ans de prison pour cambriolage d’une résidence et tentative de viol.\\
Il attaqua ce jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté était discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine. Alors que 79,1\:\% de la population de ce comté était d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées pour être jurés lors d’une certaine période de référence, il n’y eut que 339 personnes d’origine mexicaine.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’intervalle de fluctuation correspondant à la proportion d’origine mexicaine pour un échantillon de taille 870.

\item La fréquence des personnes d’origine mexicaine dans les personnes convoquées est-elle dans cet intervalle ?

\item Qu’en conclure ?

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Intervalles de confiance}}


\subsubsection{}
Dans une grande ville où la propreté des trottoirs est souvent critiquée, la municipalité a organisé un sondage, par tirage aléatoire, auprès de 400 foyers. Elle apprend ainsi que 78 foyers de cet échantillon sont propriétaires de chiens (ou plusieurs).\\
Peut-elle savoir plus sur le pourcentage des propriétaires de chiens de cette ville ?


\subsubsection{}
En vue d’une élection, un institut de sondage veut estimer la proportion d’électeurs favorables au candidat A.\\
Pour ce faire, l’institut procède à un sondage aléatoire de taille \numprint{2500} et obtient \numprint{1300} intentions de vote pour le candidat A.

\begin{enumerate}
\item Peut-on affirmer, en supposant que les électeurs maintiennent leur choix le jour du vote, que le candidat A sera élu ? Pourquoi ?

\item Et si la taille du sondage avait été \numprint{1000}, pour une fréquence obtenue de 0,52, étudier si les conclusions auraient été les mêmes.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  