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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices (méthode CMR)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $N$ est la taille estimée de la population.

\item Première session : $M = 82$ individus capturés.

\item Seconde session : $n = 67$ individus capturés,

\item $m = 2$ individus recapturés
\end{enumerate}

Taille estimée de la population :
$\dfrac{N}{M}=\dfrac{n}{m}$ donc \\
$N=M\times \dfrac{n}{m} =82\times  \dfrac{67}{2} =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{2747}}}$

Pour savoir si l la valeur de 49\:\% observée est précise à $\pm10\:\%$, on utilise l'intervalle de confiance :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec $\epsilon=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{147}}}$, on trouve : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\epsilon\approx 0,0824\approx 8,24\:\%}}$. On obtient un résultat pour précis que $\pm10\:\%$.

\item Avec $\epsilon=1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}=1,96\sqrt{\dfrac{0,49\times 0,51}{147}}\\
\approx\boxed{\textcolor{red}{ 0,08}}$, donc environ 8\:\%. 
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Le procédé de marquage est de couper une mèche de fourrure.\\
Les avantages sont notamment de pouvoir faire une observation de loin et c'est une méthode qui ne fait pas mal à l'animal..

\item %Pour chacune des 4 recaptures, estimer l’abondance de jeunes otaries nées en 1998.
On a $N_i=M_i\times \dfrac{n_i}{m_i}$ avec $1\leqslant i\leqslant 4$.\\
$N_1=\numprint{1291}\times \dfrac{\numprint{1080}}{291}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{3566}}}$.\\
De même : $\boxed{\textcolor{red}{N_2=\numprint{4180}}}$\\			
$\boxed{\textcolor{red}{N_3=\numprint{3937}}}$\\			
$\boxed{\textcolor{red}{N_4=\numprint{4459}}}$
		
\item L’abondance moyenne est :\\
$\overline{N}=\dfrac{N_1+N_2+N_3+N_4}{4}=\dfrac{\numprint{16142}}{4}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{4035,5}}}$.

\item %Quel est l’intérêt de réaliser plusieurs recaptures ?
L’intérêt de réaliser plusieurs recaptures est d'avoir un résultat plus précis et de limiter les erreurs dues aux fluctuations d'échantillonnage. 
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Population en 2003}}.\\
34 individus ont été capturés lors de la 1\iere{} session. On recapture 52 individus à la fin de la session de 2003, dont 26 ont été marqués lors de la 1\iere{} capture.\\
L'effectif de la population est donc :\\
$34\times \dfrac{52}{26}=\boxed{\textcolor{red}{68}}$.

\item\textbf{ \textcolor{red}{Population en 2004}} :\\
28 individus ont été capturés lors de la 1\iere{} session. On recapture 60 individus à la fin de la session de 2003, dont 24 ont été marqués lors de la 1\iere{} capture.\\
L'effectif de la population est donc :\\
$28\times \dfrac{60}{24}=\boxed{\textcolor{red}{70}}$.

\item 
Sur la période étudiée, on observe que la taille de la population augmente de 68 à 70.\\
Cependant, cette augmentation est négligeable : $\dfrac{70-68}{68}\approx 0,0294\approx \boxed{\textcolor{red}{2,9\:\%}}$.\\
L'augmentation est d'environ 2,9\:\% de l'effectif total.\\

De plus, ce suivi n'a été réalisé que sur 2 ans. Il faudrait voir si cette tendance se maintient à long terme.


\item La formule de l'intervalle de confiance (IC) pour un niveau de confiance de 95\:\% est \\
$I=[f-\epsilon~;~f+\epsilon]$, avec $f=0,5$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec $\epsilon=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{200}}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,07}}$, on trouve :\\ $IC\approx [0,43~;~0,57]$.\\
On peut donc estimer avec un niveau de confiance de 95\:\% que la proportion de rats empoisonnés est de $\textcolor{red}{50\:\%\pm 7\:\%}$.

\item Avec $\epsilon=1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}=1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{0,069=6,9\:\%}}$.\\
On peut donc estimer avec un niveau de confiance de 95\:\% que la proportion de rats empoisonnés est de $\textcolor{red}{50 \pm 6,9\:\%}$, soit :\\
$IC = [43,1\:\% ; 56,9\:\%]$. 

\end{enumerate}

\item On veut une incertitude de $\pm 3\:\%$ au seuil de confiance de 95\:\%.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec $\epsilon=\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$, on doit avoir : $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,03$ donc \\
$\dfrac{1}{n}=0,03^2=\numprint{0,0009}$ d'où \\
$n=\dfrac{1}{\numprint{0,0009}}\approx \numprint{1112}$.\\
Il faudrait échantillonner au moins \textcolor{red}{\numprint{1112} }individus pour avoir une incertitude de 3\:\%.

\item $\epsilon=1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}$, on doit avoir :\\
$1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}=0,03$ donc \\
$1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{n}}=0,03$.\\
D'où : $1,96^2\times \dfrac{0,5^2}{n}=0,03^2$ qui donne \\
$n=1,96^2\times \dfrac{0,5^2}{0,03^2}\approx 1067,1$.\\
Il faudrait échantillonner au moins \textcolor{red}{\numprint{1068}} individus pour avoir une incertitude de 3\:\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  