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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Intervalles de confiance}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Exemple introductif}}
On lance 100 fois de suite une même pièce de monnaie. On s'intéresse à la fréquence des \og{}Pile\fg{} obtenue ; on trouve 0,42.\\
La pièce est-elle truquée ? (voir paragraphe II)

\subsection{\textcolor{blue}{Estimation d'une proportion, intervalle de confiance}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont les résultats possibles sont
connus sans qu’on puisse déterminer lequel sera réalisé.\\
Un échantillon de taille n est constitué des résultats de $n$ répétitions identiques et indépendantes de la
même expérience.
\end{bclogo}


On étudie un caractère statistique. On suppose  que l'on ne connaît pas la proportion \textbf{\textcolor{red}{réelle}} $p$ de celui-ci et l'on cherche à l'\textbf{estimer}.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On considère un échantillon de taille $n$ ( $n \geqslant  30$) tel que $ np\geqslant  5$ et $n(1 – p) \geqslant 5. $ ($f$ est la fréquence \textbf{\textcolor{red}{observée}} dans l'échantillon).\\
Alors, la proportion \textbf{\textcolor{red}{réelle}} $p$ du caractère appartient à l'intervalle de confiance $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ au \textbf{\textcolor{blue}{seuil de confiance}} de 95\:\%, c'est-à-dire avec une probabilité de 95\:\%.\\
Cet intervalle  est dit \textbf{\textcolor{red}{intervalle de confiance}} de $p$ au seuil de confiance  0,95 (95\:\%).
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Retour sur l'exemple introductif}} : \\
$n=100\geqslant 30$ ; $f=0,52$ donc $nf=42\geqslant 5$ et $n(1-f)=0,58\geqslant 5$.\\
On peut utiliser  intervalle de confiance au seuil 0,95.\\

$I\left[\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,52-\dfrac{1}{100}~;~0,42+\dfrac{1}{10}\right)=[0,32~;~0,52]$.\\
$0,5$ appartient à cet intervalle donc on peut penser que le dé n'est pas truqué (avec un risque d'erreur de 5\:\%)

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1}}
Lors d'une élection mettant en lice deux candidats, le parti d’un candidat commande un sondage réalisé à partir de \numprint{1600} personnes à l’issue duquel il est donné gagnant avec 52\:\% des voix.\\
A-t-il des raisons d’être confiant ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Réponse :}}\\
Soit $p$ la proportion de gens votant pour lui ; il est élu si $p\geqslant 0,5$.\\
D'après l'intervalle de confiance, $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1600}}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1600}}}\right]=[0,495~;~0,545]$ au seuil de 95\%, donc il n'est pas sûr d'être élu.\\
En effet, pour être élu, il doit obtenir $50\:\%$ des voix, donc $p=0,5$ ; or la borne inférieure de l'intervalle de confiance est inférieure à 0,5, donc il n'est pas complètement sûr d'âtre élu.\\
Pour être plus spur, il faudrait interroger davantage de candidats. La largeur (amplitude) de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$, donc diminie si $n$ augmente (mais le sondage coûte alors plus cher \dots )

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}}
En septembre 2013, un sondage réalisé auprès de \nombre{1297}~joueurs américains, révèle que 26\:\% des sondés achèteront la console SP2 à sa sortie.
\begin{enumerate}
 \item Les conditions de validité de l'intervalle de confiance sont-elles réunies ?
 
 \item Si oui, dans quelle fourchette peut-on estimer, avec une probabilité de 95\:\%, le pourcentage de joueurs américains qui feront l'acquisition d'une SP2?
\end{enumerate}

\bigskip
Réponses :
\begin{enumerate}
\item oui

\item $p\in\left[23\:\%~;~29\:\%\right]$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  