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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Intervalles de confiance}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Échantillon}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont les résultats possibles sont
connus sans qu’on puisse déterminer lequel sera réalisé.\\
Un échantillon de taille n est constitué des résultats de $n$ répétitions indépendantes de la
même expérience.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{blue}{Estimation d'une proportion, intervalle de confiance}}
On étudie un caractère statistique. On suppose  que l'on ne connaît pas la proportion réelle $p$ de celui-ci et l'on cherche à l'\textbf{estimer}0.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On considère un échantillon de taille $n$ ( $n \geqslant  25$) tel que $f \in [0,2~;~0,8]$. ($f$ est la fréquence observée dans l'échantillon).\\
Alors, la proportion réelle $p$ du caractère appartient à l'intervalle $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ au seuil de 95\:\%, c'est-à-dire avec une probabilité de 95\:\%.\\
Cet intervalle  est dit \textbf{\textcolor{red}{intervalle de confiance}} de $p$ au niveau de 0,95.
\end{bclogo}



\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1:}}
Le parti d’un candidat commande un sondage réalisé à partir de \numprint{1600} personnes à l’issue duquel il est donné gagnant avec 52\:\% des voix.\\
A-t-il des raisons d’être confiant ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Réponse :}}\\
Soit $p$ la proportion de gens votant pour lui ; il est élu si $p\geqslant 0,5$.\\
D'près l'intervalle de confiance, $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1600}}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1600}}}\right]=[0,495~;~0,545]$ au seuil de 95\%, donc il n'est pas sûr d'être élu.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}}
En septembre 2013, un sondage réalisé auprès de \nombre{1297}~joueurs américains, révèle que 26\:\% des sondés achèteront la console SP2 à sa sortie.
\begin{enumerate}
 \item Les conditions de validité de l'intervalle de confiance sont-elles réunies ?
 
 \item Si oui, dans quelle fourchette peut-on estimer, avec une probabilité de 95\:\%, le pourcentage de joueurs américains qui feront l'acquisition d'une SP2?
\end{enumerate}

\bigskip
Réponses :
\begin{enumerate}
\item oui

\item $p\in\left[23\:\%~;~29\:\%\right]$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  