\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices \no 1 sur les évolutions linéaires}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac Métropole STMG juin 2017}}


Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la
Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015.

%\smallskip
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|m{3.15cm}|*{5}{c|}}
%\hline
%Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
%Rang de l'année: $x_i$& 1 &2 &3& 4& 5\\\hline
%Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$& \np{2589,70}&\np{2324,85} & \np{2507,55}&\np{2847,85}  &\np{3081,45}\\\hline
%\multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\
%\end{tabular}
%\end{center}
%\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
Rang de l'année: $x_i$& 1 &2 &3& 4& 5\\\hline
Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$& \np{2589,70}&\np{2324,85} & \np{2507,55}&\np{2847,85}  &\np{3081,45}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en
fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $\boxed{\textcolor{red}{y=\np{150.65}x+\np{2218.33}}}$, les coefficients étant arrondis au centième.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation :$y = 150,7x + 2 218,3$.
\begin{enumerate}
\item   La droite $D$ est tracée sur le graphique de l'\textbf{annexe 2}.
\item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donnons  une estimation du prix moyen d'une tonne de
cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. Nous avons alors $n=10$. En remplaçant $x$ par 10 dans l'équation de la droite 
$y=\np{150.7}\times 10+\np{2218,3} = \boxed{\textcolor{red}{\np{3725,3}}}$.

Une estimation du prix moyen d'une tonne de cacao au début 2020 est de \np[\$]{3725,30}.

{\footnotesize \textsc{Remarque :} Nous trouvons une estimation similaire par la lecture graphique.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.003cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-100)(\n,2900)}
\multido{\n=-100+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.55,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =2,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45)
\uput[u](0.5,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de}\uput[u](0.5,3000){\footnotesize cacao(en dollar)}
\uput[dr](8.75,- 150){\footnotesize Rang de l'année}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.1}{x 150.7  mul 718.3 add}
\psset{arrowscale=2}
 \def\Func{x 150.7 mul 718.3 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\uput[l](-0.08,2225,3){\textcolor{violet}{\footnotesize $\approx 3725$}}\uput[d](9.5,2150){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac ES Métropole-Réunion novembre 2009}}
Pour établir le prix unitaire le plus adapté d'un produit, une société effectue une étude statistique.

Le tableau suivant indique le nombre d'acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix en euros : $x_{i}$&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline
Nombre d'acheteurs en milliers : $y_{i}$&125&120&100&80&70&50&40&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points est représenté ci-dessous.

\item
	\begin{enumerate}

\item %Ces points sont-ils à peu près alignés ?
Oui, ces points sont à peu près alignés.

\item On admet que l'équation  de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $\boxed{\textcolor{red}{y=-15x+189}}$.\\
%Tracer la droite $(D)$ dans le graphique ci-dessous.
La droite $(D)$ est tracée dans le graphique ci-dessous.

\item %En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.
Graphiquement, le prix unitaire maximum doit être d'environ \fbox{\textcolor{red}{12 \euro{}}} à l'euro près pour que le nombre d'acheteurs reste positif.
	\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le nombre d'acheteurs est modélisé par $y=-15x+189$.\\
La recette est égale à $R(x)=x(-15x+89)\\
=\boxed{\textcolor{red}{-15x^2 + 189x}}$

\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
$R$ est une fonction polynôme du second degré. Le coefficient Dre $x^2$ est -15, donc la parabole est tournée vers le bas.\\
$R(x)=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=-15\\b=189\\c=0\end{cases}$.\\
La maximum est atteint en $x=-\dfrac{b}{2a}\\
=\dfrac{189}{30}=\dfrac{63}{10}=\boxed{\textcolor{red}{6,3}}$.\\

On pourvait aussi utiliser la dérivée $\boxed{\textcolor{red}{R'(x)=-30x+189}}$.
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{63}{10}&&13\\
\hline
\m{R(x)}&0&\c&\h{395,35)}&\d&-78\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
	
		\item D'après le tableau de variation, la société aura une recette \textbf{\textcolor{red}{maximale}} pour un prix de vente de 6,30~\euro. Elle a intérêt à vendre à un prix unitaire de 6,30\euro.
 	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(14,140)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,135)}
\multido{\n=0+5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.9,-5)(14,135)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](4,125)(5,120)(6,100)(7,80)(8,70)(9,50)(10,40)(11,25)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{12.6}{189 15 x mul sub}
\uput[ur](12,10){\blue $D$}
\uput[u](14,0){Prix en \euro}
\uput[u](0,133){Nombre d'acheteurs}
\end{pspicture}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  