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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur le modèle linéaire }}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après Bac Métropole STMG juin 2017}}


Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la
Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
Rang de l'année: $x_i$& 1 &2 &3& 4& 5\\\hline
Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$& \np{2589,70}&\np{2324,85} & \np{2507,55}&\np{2847,85}  &\np{3081,45}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est représenté ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item  Pour ceux qui ont une calculatrice graphique, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en
fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation:
\[y = 150,7x + 2 218,3.\]
\begin{enumerate}
\item  Tracer la droite $D$ sur le graphique ci-dessous.
\item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donner une estimation du prix moyen d'une tonne de
cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-100)(\n,2900)}
\multido{\n=0+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.55,\n)(10.5,\n)}
\multido{\n=0+500}{7}{\psline[linewidth=1pt](-0.55,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =3,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45)
\uput[u](0.5,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de cacao(en dollar)}
\uput[dr](9,- 200){\footnotesize Rang de l'année}
%\psplot{0}{10}{150.7*x + 718.3}
\end{pspicture}
\end{center}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{D'après bac ES Métropole-Réunion novembre 2009}}
Pour établir le prix unitaire le plus adapté d'un produit, une société effectue une étude statistique.

Le tableau suivant indique le nombre d'acheteurs, exprimé en milliers, correspondant à un prix unitaire donné, exprimé en euros :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix en euros : $x_{i}$&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline
Nombre d'acheteurs en milliers : $y_{i}$&125&120&100&80&70&50&40&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter ci-dessous le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ dans le plan $(P)$ muni d'un repère orthonormal d'unités 1~cm pour un euro sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~milliers d'acheteurs sur l'axe des ordonnées.
\item
	\begin{enumerate}

\item Ces points sont-ils à peu près alignés ?

\item On admet que l'équation  de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=-15x+189$.\\
Tracer la droite $(D)$ dans le graphique ci-dessous.

\item En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer graphiquement, à l'euro près, le prix unitaire maximum que la société peut fixer si elle veut conserver des acheteurs.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'ajustement affine précédent, justifier que la recette $R(x)$, exprimée en milliers d'euros, en fonction du prix unitaire $x$ d'un objet, exprimé en euros, vérifie :
		
		\[R(x) = - 15x^2 + 189x.\]
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
		\[f(x) = - 15x^2 + 189x.\]
		\item Quel conseil peut-on donner à la société ? Argumenter la réponse.
 	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(14,135)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,135)}
\multido{\n=0+5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.9,-5)(14,135)
%\psdots(4,125)(5,120)(6,100)(7,80)(8,70)(9,50)(10,40)(11,25)
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{12.6}{189 15 x mul sub}
%\uput[ur](12,10){\blue $D$}
\end{pspicture}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  