\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Évolution linéaire (feuille \no 2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u(0)$ et de raison $r$.\\
Dans chaque cas, calculer $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.
\begin{enumerate}

\item $u(0)=1$ et $r=3$.
\item $u(0)=5$ et $r=-2$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $u$ une suite arithmétique. Dans chaque cas, donner le terme général de $u(n)$.
\begin{enumerate}
\item $u(0)=1$ et $u(3)=7$.

\item $u(1)=-5$ et $u(9)=-7$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Un écureuil décide de faire des réserves de noisettes pour l'hiver. Le premier jour, il compte le nombre de noisettes qu'il lui reste en réserve : il en a 40. À partir du second jour, il ajoute 10 noisettes supplémentaires à son stock chaque jour. On note $u(n)$ la suite donnant le nombre de noisettes en réserve au $n$-ème jour de récolte, ainsi $u(0)=40$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Quelle est la nature de $u(n)$. Préciser sa raison.
\item Donner l'expression de $u(n)$ en fonction de $n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\item L'écureuil estime qu'il a besoin de 500 noisettes en réserve pour passer l'hiver. Au bout de combien de jours aura-t-il atteint ce nombre ?
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Évolution de la population française}}
Ci-dessous est répertoriée la population française à certaines années.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1945&1950&1960&1965&1970&1975&1980&1985&1990&1995&2000&2010&2020\\
\hline
Rang$\left(x_i\right)$&0&&&&&&&&&&&&\\
\hline
\begin{minipage}{2cm}
Population en millions $\left(y_i\right)$
\end{minipage} &40,3&42,01&45,9&49,28&51,72&53,72&55,05&56,57&58,04&56,57&60,92&65,03&67,57\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Compléter la ligne des rangs ; l'année 1945 correspond au rang 0 et $n$ est le rang de l'année $1945+5n$.

\item Représenter graphiquement sur le graphique joint le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.

\item Comment semblent ces points ?

\item La droite d'ajustement linéaire obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=1,796x+41,340$ (au millième près).\\
Tracer cette droite.

\item Estimer alors la population en France en 2030 obtenue avec ce modele.\\
\textbf{Remarque} : en fait, la population attendue en 2030 est 68,554 millions d'habitants.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.12,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(18,45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=40,Dy=5,]{->}(0,0)(18,40)
\multido{\n=0+1}{18}{\psline(\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(18,\n)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(18,\n)}
\uput[d](18,0){Rang}
\uput[r](0,41){Population en millions d'habitants}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,0.3)(1,2.01)(3,5.09)(4,9.28)(5,11.72)(6,13.72)(7,15.05)(8,16.57)(9,18.04)(10,16.57)(11,20.92)(13,25.03)(15,27.57)
%\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{17}{1.796*x+1.340}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Évolution de la consommation mondiale de gaz}}
Le tableau suivant donne la consommation mondiale de gaz naturel, en millions de tonnes-équivalent-pétrole, de 1988 à 1994 (extrait de la revue Alternatives économiques, hors-série \no  26) 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &1988 &1989 &1990 &1991 &1992 &1993 &1994 \\
\hline
Rang	&1&&&&&&\\
\hline
Consommation &7740 &7800 &7880 &7900 &7920 &8000 &8020\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}On appelle $x_i$ le rang de l'année à partir de 1987 et $y_i$ la consommation mondiale de gaz naturel correspondante, exprimée en millions de tonnes équivalent-pétrole. 

\begin{enumerate}
\item Recopier la ligne des rangs dans  le tableau précédent. 


\item Représenter le nuage des points $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère ci-dessous : 

\item En regardant la forme du nuage de points, peut-on envisager un ajustement affine ?

\item On admet que la droite d'ajustement obtenu par laméthode des moindres carrés est : \\
$y=33,21x+7741,43$

\item La tracer dans le repère précédent.

\item Calculer une valeur approchée, à 1 million de tonnes-équivalent-pétrole près, de la consommation mondiale de gaz naturel prévisible pour 1996. 
\end{enumerate}

\psset{xunit=2,yunit=0.045,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-20)(8,325)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=20,Oy=7700]{->}(0,0)(0,0)(7,300)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,300)}
\multido{\n=0+20}{16}{\psline(0,\n)(7,\n)}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,40)(2,100)(3,180)(4,200)(5,220)(6,230)(7,250)
%\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{7}{33.214*x+41.429}
\end{pspicture}



\label{fin}
\end{document}  