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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur les intervalles de confiance}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La fréquence des personnes votant pour Lotfi est $f=\dfrac{52}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,52}}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n=100$ donc $n\geqslant 30$

\item $nf=52\geqslant 5$

\item $n(1-f)48\geqslant 5$
\end{enumerate}
On peut utiliser un intervalle de confiance au seuil de confiance 95\:\%.\\
L'intervalle de confiance est \\
$I=\left[0,52-\dfrac{1}{100}~;~0,52+\dfrac{1}{100}\right]=\boxed{\textcolor{red}{[0,42~;~0,62]}}$.

\item On en déduit que la proportion réelle $p$ de gens votant pour Lofti appartient à cet intervalle.\\
Il est possible que $p<0,5$ donc il n'est pas sûr d'être élu.

\item Il faut que $f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0,5$ (borne inférieure de l'intervalle de confiance).\\
$0,52-\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0,5\Leftrightarrow 0,02>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\\
\Leftrightarrow 0,02^2>\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)^2=\dfrac{1}{n}$ en appliquant la fonction carré, croissante sur $[0~;~+\infty[$, puis, en appliquant la fonction inverse, décroissante sur $]0~;~+\infty[$ :\\
$\dfrac{1}{0,02^2}< n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{n>\numprint{2500}}}$

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $f_A=0,68$ pour le groupe A~;~$f_B=0,56$ pour le groupe B.\\
Les conditions pour avoir des intervalles de confiance sont vérifiées.\\
Les deux intervalles de confiance sont, pour chacun des deux groupes  :
$I_A=[0,58~;~0,78]$.\\
$I_B=[0,46~;~0,66]$.\\
Les deux intervalles se chevauchent donc on ne peut pas conclure quant à l'efficacité du médicament !

\item Pour pouvoir conclure quant à l'efficacité du médicament (en gardant les mêmes fréquences, il faut augmenter la taille de la population étudiée, puisque l'amplitude des intervalles diminue si $n$ augmente).\\
En effet, celle-ci vaut $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
On doit avoir $0,46+\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,68-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,12$.\\
On en déduit $n>277,7$ donc $\boxed{\textcolor{red}{n= 278}}$

\end{enumerate}


\columnbreak

%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item La fréquence observée est $f=\dfrac{39}{50}=\dfrac{78}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,78}}$.
%
%\item La proportion $p$ au niveau de la population entière, au niveau de confiance 0,95, appartient à l'intervalle :\\
%$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,7-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;~0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,64~;~0,92]}}$
%\end{enumerate}

\subsection{}
Une urne contient des boules blanches et des boules noires.. On aimerait connaître la proportion $p$ de boules blanches.\\
Pour cela, on effectue 100 tirages avec remise dans cette urne. On obtient 32 boules blanches.
%Estimer $p$ à l'aide de l'intervalle de confiance au niveau 0,95.
La taille de l'échantillon est $n=100\geqslant 30$.\\
La fréquence observée de boules blanches est $f=0,32$ donc $nf=32\geqslant 5$.\\
$n(1-f)=100\times 0,68=68\geqslant 5$.\\
on peut utiliser un intervalle de confiance au seuil 0,95 :
\[I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\boxed{\textcolor{red}{[0,22~;~0,42]}}.\]
Avec un seuil de confiance de 95\:\%, on peut estimer que la proportion réelle $p$ de boules blanches dans l'urne appartient à cet intervalle, donc est comprise entre 0,22 et 0,42.

\subsection{}
On calcule l'intervalle de confiance pour Nicolas Sarkozy :

$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,55f-\dfrac{1}{\sqrt{992}}~;~0,55+\dfrac{1}{\sqrt{992}}\right]$ soit \\
\[\boxed{\textcolor{red}{I\approx [0,518~;~0,582.}}\]

La proportion des votants en faveur de N. Sarkozy se trouvant dans [0,518~;~0,582], avec un seuil de confiance de 95\:\% , on peut en déduire qu’il avait de grandes chances d’être élu. (Son score réel a été de 53,08\:\%)

\emph{\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}}} : Les sondages sont souvent réalisés auprès d’environ \numprint{1000} personnes car cela permet de connaître la proportion d’un candidat à $\pm 3,16\:\%$ près, puisque \\
$\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0,0316=3,16\:\% $.

\subsection{}
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
$\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,08$ donc $\sqrt{n}=\dfrac{2}{0,08}=\dfrac{200}{8}=25$ d'où $n=25^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{625}}$.\\
La taille de l'échantillon était 625.


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  