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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'exercice CMR-confiance}}\end{center}

Notons $N$ le nombre d'individus à estimer.\\

\begin{enumerate}
\item On a : $M=800$ ; $n=\numprint{1000}$ et $m=250$.\\
D'après la méthode CMR, on a : $N=\dfrac{n}{m}\times M=\dfrac{\numprint{1000}}{250}\times 800=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3200}}}$.

\item La fréquence observée est $f=\dfrac{250}{\numprint{1000}}=0,25$.\\
Nous sommes dans les conditions d'application d'un intervalle de confiance au seuil 0,95.\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}~;~0,25+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1000}}}\right)\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,218~;~0,282]}}$.\\
Notons $p=\dfrac{800}{N}$, donc $N=\dfrac{800}{f}$.\\
En fait : $p\in I$.
On en déduit que : $N\in \left[\dfrac{800}{0,282}~;~\dfrac{800}{0,218}\right]\approx\boxed{\textcolor{red}{ [\numprint{2836}~;~\numprint{3670}]}}$.\\
On peut estimer que $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2836}\leqslant N\leqslant \numprint{3670}}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : cet intervalle doit évidemment contenir la valeur \numprint{3200} obtenue précédemment.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  