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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Enseignement scientifique : correction des exercices sur la proportionnalité}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
 Un transporteur propose les tarifs suivants :
 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{5}{c|}}\hline
\text{Distance en km}&100&150&200&250\\
\hline
\text{Coûts en \euro}&83,60&125,40&159,20&191\\
\hline
\end{array}
$
\end{center}
Pour passer de 100  km à 200 km, on multiplie par 2, mais $83,6\times 2=167,2\neq 159,2$ donc les prix ne sont pas proportionnels aux distances parcourues.\\
On peut aussi calculer les différents quotients :\\
$\dfrac{83,6}{100}=0,836$ ; $\dfrac{125,4}{150}=0.836$ ; $\dfrac{159,2}{200}=0,790\neq 0,836$ donc nous ne sommes pas en situation de proportionnalité.

\subsection{\textcolor{blue}{Calcul d'une quatrième proportionnelle}}
Dans un immeuble, les charges payées sont proportionnelles à la surface au sol de la propriété pour chacun des propriétaires.\\
%Trouver la valeur de $x$, $y$ et de $z$ du tableau des charges de quelques propriétaires.

\scriptsize
\begin{center}
$\begin{array}{|*{5}{c|}}\hline
\text{Surface au sol en m}^2&x&61,2&y&72,9\\
\hline
\text{Montant des charges en \euro}&82,32&171,36&189,00&z\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\normalsize
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{x}{82,32}=\dfrac{61,2}{171,36}=\dfrac{5}{14}$ donc $x=\dfrac{5}{14}\times 82,32=\boxed{\textcolor{red}{29,4}} $.

\item De même : $y=\dfrac{5}{14}\times 189=\boxed{\textcolor{red}{67,5}}$

\item $z=\dfrac{72.9}{\frac5{14}}= \boxed{\textcolor{red}{204,12}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer $x$ dans chacun des cas :


\begin{enumerate}[1)]
\item $\dfrac{x}{1,4}=\dfrac{1,2}{9}$\\
$x=\dfrac{1,2}{9}\times 1,4=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1.68}{9}\approx 0,187}}$

\item $\dfrac{0,49}{0,14}=\dfrac{2,5}{x}$ donc $0,49x=2,5\times 0,14$ d'où $x=\dfrac{2,5\times 0,14}{0,49}=\dfrac{0.35}{0.49}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{35}{49}\approx 0,714}}$

\item $\dfrac{2,7}{x}=\dfrac{6,6}{14}$ dnc $x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14\times 2,7}{6,6}\approx 5,73}}$

\item $\dfrac{x}{10}=\dfrac{10}{x}$ donc $x^2=100$ en calculant les produits en croix.\\
Alors, on a deux solutions : $x=-10$ ou $x=10$.\\
En effet, $x^2=100\Leftrightarrow x^2-100=0\Leftrightarrow x^2-10^2=0\Leftrightarrow (x+10)(x-10)=0$ (identité remarquable).\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul, d'où $x=-10$ ou $x=10$.\\
On peut aussi regarder les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction $x\mapsto x^2$ et de la droite d'équation $y=100$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.45,yunit=0.07,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-11,-20)(11,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-11,-10)(11,110)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0](-11,-10)(11,110)
\psplot{-10.2}{10.2}{100}
\psline[linestyle=dashed](-10,100)(-10,0)
\psline[linestyle=dashed](10,100)(10,0)
\psplot{-10.2}{10.2}{x^2}
\end{pspicture}
\end{center}


\item $\dfrac{x}{0,35}=5,2$ donc $x=0,35\times 5,2=\boxed{\textcolor{red}{1,82}}$

\item $\dfrac{0,26}{x}=5,2$ donc $x=\dfrac{0,26}{5,2}=\boxed{\textcolor{red}{0,05}}$.
\end{enumerate}

\newpage




\subsection{}
Notre voiture a un réservoir d'une contenance de 43 litres. Cette voiture consomme 7 litres d'essence aux 100 km. Nous avons commencé notre voyage de 340 km avec le réservoir rempli aux deux tiers de sa contenance. Quel volume restera-t-il dans le réservoir à la fin du trajet ?\\
$\dfrac{340}{100}=3,4$ donc la voiture consomme, sur le trajet : $7\times 3,4=23,8$ L.\\
Dans le réservoir, au départ, il y a $43\times \dfrac{2}{3}\approx 28,67$ L\\
$28,67-23,8=\boxed{\textcolor{red}{4,87}}$.\\
À la fin, il reste donc environ 4,87 L d'essence.

\subsection{}
Une voiture roulant à vitesse constante, a parcouru 105 km en 1 h 15 min, donc en 75 min.% Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 189 km ?
Le temps nécessaire pour parcourir 189 km est donc $\dfrac{75}{105}\times 189=\dfrac{5}{7}\times 189=135$.\\
Pour parcourir 189 km, il faut 135 min, donc 2 h 15 min.

\subsection{}
Une personne distribue l’argent de poche à ses trois enfants, Zoé, Xavier (5 ans) et Yannick proportionnellement à leur âge. Elle donne 2,5 \euro{} à Xavier, 4 \euro{} à Zoé et le reste à Yannick.\\
Sachant que la somme des âges des enfants est 23 ans, 
Résumons la situation dans un tableau, en notant $x$, $y$ les âges de Zoé et Yannick, $z$ la somme d'argent reçue par  Yannick.\\
On a : 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{l|}}\hline
&\text{Zoé}&\text{Xavier}&\text{Yannick}\\
\hline
\text{Âge}&x&5&y\\
\hline
\text{Somme en euros}&4&2,5&z\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item %Quels sont les âges de Zoé et de Yannick ?
$x=4\times \dfrac{5}{2,5}=4\times 2=8$. Zoé a 8 ans.\\
$y=23-(8+5)=10$ donc Yannick a 10 ans.

\item %Quel est l’argent de poche de Yannick ?
On en déduit que $z=y\times \dfrac{4}{8}=y\times \dfrac{1}{2}=5$ ; Xavier reçoit 5 euros.

\item %Quelle est la somme totale distribuée ?`
La somme totale distribuée est $4+2,5+5=\boxed{\textcolor{red}{11,5}}$, ou $\dfrac{23}{2}=11,5$ puisque la somme des âges est 23 et qu'on passe de la première ligne à la deuxième en divisant par 2.
\end{enumerate}



\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  
 
