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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les intervalles de confiance (feuille \no 2)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une urne contient des boules blanches et des boules noires.. On aimerait connaître la proportion $p$ de boules blanches.\\
Pour cela, on effectue 100 tirages avec remise dans cette urne. On obtient 32 boules blanches.
%Estimer $p$ à l'aide de l'intervalle de confiance au niveau 0,95.
La taille de l'échantillon est $n=100\geqslant 30$.\\
La fréquence observée de boules blanches est $f=0,32$ donc $nf=32\geqslant 5$.\\
$n(1-f)=100\times 0,68=68\geqslant 5$.\\
on peut utiliser un intervalle de confiance au seuil 0,95 :\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=[0,22~;~0,42]$.\\
Avec un seuil de confiance de 95\:\%, on peut estimer que la proportion réelle $p$ de boules blanches dans l'urne appartient à cet intervalle, donc est comprise entre 0,22 et 0,42.

\subsection{}
On calcule l'intervalle de confiance pour Nicolas Sarkozy :

$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,55f-\dfrac{1}{\sqrt{992}}~;~0,55+\dfrac{1}{\sqrt{992}}\right]$ soit $I\approx [0,518~;~0,582]$.

La proportion des votants en faveur de N. Sarkozy se trouvant dans [0,518~;~0,582] avec 95\:\% de chance, on peut en déduire qu’il avait de grandes chances d’être élu.

\emph{\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}}} : Les sondages sont souvent réalisés auprès d’environ \numprint{1000} personnes car cela permet de connaître la proportion d’un candidat à 3\:\% près.

\subsection{}
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
$\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,08$ donc $\sqrt{n}=\dfrac{2}{0,08}=\dfrac{200}{8}=25$ d'où $n=25^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{625}}$.\\
La taille de l'échantillon était 625.


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La taille de l’échantillon, \numprint{1000}, est supérieure à 30.\\
$f=0,257$, donc $nf=257\geqslant 5$ et $n(1-f)=743\geqslant 5$.\\
Les conditions de validité de l’intervalle de confiance sont réunies.

\item $0,257 -\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0,225$\\
$0,257 +\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\approx 0,289$.\\
L’intervalle de confiance au seuil de 95\:\% est \boxed{\textcolor{red}{[0,225~;~0,289]}}.\\
On peut estimer que le pourcentage de français qui n’ont pas ou peu confiance en les hôpitaux est compris
entre 22,5\:\% et 28,9\:\% au seuil de 95\:\%.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La taille de l’échantillon (230) est supérieure à 25 d’une part et les fréquences observées (0, 34 et 0, 28) sont comprises entre 0, 2 et 0, 8 d’autre part donc on peut déterminer un intervalle de confiance au seuil de 95\:\%.

\item Pour Simplet :\\
$0, 34 -\dfrac{1}{\sqrt{230}}\approx 0,274$\\
$0, 34 +\dfrac{1}{\sqrt{230}}\approx  0,406$\\
Par conséquent = $\boxed{\textcolor{red}{I_1\approx [0,274~;~0,406]}}$

\bigskip
Pour Grognon :\\
$0, 28 -\dfrac{1}{\sqrt{230}}\approx 0,214$\\
$0, 28 +\dfrac{1}{\sqrt{230}}\approx 0,346$\\
donc $\boxed{\textcolor{red}{I_2 = [0, 214~;~0, 346]}}$.

\item Les deux intervalles ne sont pas disjoints donc on ne peut pas affirmer que Simplet est plus drôle que Grognon avec un risque d’erreur de 5\:\%.

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  
