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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle d'enseignement scientifique (1 heure)\\
(Intervalles de confiance, méthode CMR)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
Une semaine avant une élection un sondage est effectué sur \numprint{1024} personnes choisis au hasard parmi les \numprint{42821} inscrites sur les listes ; 532 déclarent voter pour le candidat.\\
Le candidat a-t-il raison de penser qu’il va être élu ?

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (4 points)}}
Une banque désire savoir si son site est bien adapté au besoin de plus de 5 millions de clients. Elle commande à un institut de sondage une enquête afin d’estimer la proportion de ses clients satisfaits. Elle impose un niveau de confiance de 95\:\% avec une amplitude de 0,04.\\
Combien de personnes doit au minimum interroger l’institut de sondage ?

%\subsection{}
%On cherche à estimer  la taille d'une population de moustiques Anopheles gambiae dans un village du Burkina Faso, par la technique de capture-marquage-recapture.\\
%On obtient :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%&Saison humide Sept 2013&Saison sèche Mai 2014\\
%\hline
%Moustiques marqués relâchés&\numprint{3407}&	\numprint{5267}\\
%\hline
%Moustiques capturés non marqués&\numprint{5843}&363\\
%\hline
%Moustiques capturés marqués&44&49\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%Le moustique A. gambiae est le principal vecteur de la malaria au Burkina Faso. La connaissance de la taille des populations de moustiques est indispensable pour mettre en place des programmes de luttes. Les moustiques sont ici marqués par des poudres colorées.\\
%(D’après Epopa et al, 2017)\\
%Estimer le nombre de moustiques dans ce village en saison humide puis en saison sèche.


%\subsection{}
%Des biologistes veulent estimer l'abondance d'une population isolée de salamandres tachetées dans la région du  Lavaux en Suisse. Contrairement à une population de végétaux qui présentent une vie fixée, on ne peut pas réaliser un comptage de la totalité de la population de salamandres. : elles sojt mobiles et susceptibles de présenter un comportement de fuite.\\
%Pour cela, ils utilisent la méthode de capture-marquage-recapture (CMR).\\
%Ainsi ont-ils capturé, marqué puis relâché 27 salamandres. Une deuxième capture a été réalisée quelques jours plus tard ; 42 ont été capturées, dont 20 qui avaient été marquées lors de la première capture.\\
%
%\begin{enumerate}
%\item Donner une estimation de l’abondance de la population de salamandres dans la zone d'étude.
%
%\item Proposer des événements pouvant modifier l’abondance d’une population entre le moment de la capture et celui de la recapture.
%\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (4 points)}}
%On cherche à évaluer l'effectif d'une population de papillons Azuré du Serpolet dans un milieu. Pour cela, 246 papillons sont capturés, marqués puis relâchés. Pour le marquage, les papillons sont saisis au niveau du thorax afin de ne pas endommager leurs ailes. le marquage est effectué à l'aide d'un feutre inodore et permanent. Quelques jours plus tard, on capture 380 papillons l'un après l'autre que l'on relâche immédiatement. On observe que 208 papillons sont marqués.
%\begin{enumerate}
%\item Quel est l'intérêt des différentes étapes de marquage ?
%
%\item Estimer le nombre de papillons Serpolet dans le milieu étudié.
%
%\item Estimer la proportion d'individus de cette population possédant un marquage par un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\:\%.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (4 points)}}
%https://www.youtube.com/watch?v=A1iwwskad-M
On désire évaluer le nombre $N$ d'individus d'une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on capture 800 individus, ces individus sont marqués puis relâchés. On recapture ultérieurement \numprint{1000} animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués.
\begin{enumerate}
\item Estimer la taille $N$ de cette population animale.
%Le nombre d'animaux capturés  et marqués est $M=800$ ; le nombre d'animaux recapturés est $n=\numprint{1000}$ ; le nombre d'animaux marqués parmi ceux-ci est $m=250$.\\
%$N=M\times \dfrac{n}{m}=800\times \dfrac{1000}{250}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3200}}}$.

\item Donner l'intervalle de confiance au seuil de confiance de 95\:\% pour la taille de cette population.
%la taille de l'échantillon est suffisante ; la fréquence d'individus marqués est $f=\dfrac{250}{1000}=\dfrac{1}{4}=0,25$.\\
%$0,25\in[0,2~;~0,8]$.\\
%On peut appliquer la formule donnant un l'intervalle de confiance au seuil de confiance 0,95.\\
%$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}~;~0,25+\dfrac{1}{1000}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,218~;~0,282]}}$.\\
%Or, $f=\dfrac{800}{N}$ donc $N=\dfrac{800}{f}$.\\
%Si $0,218\leqslant f\leqslant 0,282$, alors $\dfrac{1}{0,282}\leqslant \dfrac{1}{f}\leqslant \dfrac{1}{0,218}$ d'où \\
%$\dfrac{800}{0,282}\leqslant N\leqslant \dfrac{800}{0,282}$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2836}\leqslant N\leqslant \numprint{3670}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}%d'après Nouvelle-Calédonie novembre 2014
Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84\,\%. 

En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces. 

Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\,\% et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ? 
%La fréquence de françaos consommant des glaces est 0,84 ; la taille de l'échantillon est $n=900$.\\
%L'intervalle de confiance correspondant, au seuil de confiance 0,95 est :
%$I=\left[0,84-\dfrac{1}{\sqrt{900}}~;~0,84+\dfrac{1}{\sqrt{900}}\right]\\
%\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,806~;~0,874]}}$.\\
%En 2010, la proportion de gens déclarant manger des glaces est $p=\dfrac{795}{900}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,883}}$.\\
%$p\notin I$ donc \textbf{\textcolor{red}{on ne pas pas affirmer}}, au niveau de confiance de 95\:\%, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre 2000 et 2010.



\columnbreak


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (6 points)}}
Dans les années 70, un magicien du nom d’Uri Geller, affirmait posséder de vrais pouvoirs surnaturels.\\
Pour se faire connaitre, il participa à une émission de télévision, au cours de laquelle il présenta plusieurs numéros impressionnants tels que la torsion d’une petite cuiller par la pensée et la communication par télépathie. Il affirma également qu’il avait le pouvoir de faire griller une ampoule de lampe à distance, et ce, à plusieurs endroits en même temps. Au même moment, de nombreuses ampoules s’éteignirent chez les téléspectateurs qui regardaient l’émission.\\
Uri Geller est alors devenu tellement célèbre que même la CIA l’a convoqué pour observer l’origine et la fiabilité de ses pouvoirs paranormaux.\\ 
Dès 1972, de nombreux prestidigitateurs décidèrent de démystifier Uri Geller, en reproduisant ses tours à l’identique. Parmi ceux-là, un magicien français désirant rester anonyme intervint à la télévision pour reproduire le tour des  \og{}lampes qui s’éteignent\fg{}.  \\
Le jeune magicien annonça qu’en se concentrant seulement 5 minutes au début de l’émission, il allait faire griller plusieurs milliers d’ampoules chez les téléspectateurs. Pendant le reste des deux heures d’émission, près de 700 personnes téléphonèrent pour confirmer qu’une ampoule s’était éteinte chez eux. \\
Pour les lampes à incandescence (dans les années 70), on sait que la fréquence d’ampoules allumées qui grillent sur un intervalle de deux heures est environ 0,0005.

\begin{enumerate}
\item Sachant que chaque ménage a environ une quinzaine d’ampoule allumées en soirée, montrer que la fréquence $f$ d’ampoules qui grillent par ménage en soirée sur un intervalle de deux heures est \[f= \numprint{0,0075}.\]

\item On estime qu’environ 2,5 millions de ménages \\
($n=\numprint{2500000}$) regardaient l’émission ce soir-là.\\
Calculer l’intervalle de confiance à 95\:\% de la fréquence $f$ calculée précédemment, pour cet échantillon. (On arrondira les valeurs obtenues à 4 chiffres après la virgule).
%L'intervalle de confiance est $I=\left[0,0075-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500000}}}~;~0,0075+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500000}}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[\numprint{0,0069}~;~\numprint{0,0081}]}}$.

\item En déduire un encadrement probable à 95\:\% du nombre $N$ de ménages chez qui  une ampoule a grillé pendant l’émission. 
%On a $0,0069\leqslant f\leqslant 0,0081$ avec $f=\dfrac{n}{N}$ où $n$ est le nombre de personnes regardant l'émission chez qui une ampoule a grillé et $N$ le nombre total de personnes ayant regardé l'émission.\\
%Ainsi : $\numprint{0,0069}N\leqslant n\leqslant \numprint{0,0081}N$.\\
%$N=\numprint{2500000}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{17250}\leqslant n\leqslant \numprint{20250}}}$.\\
%On peut donc en conclure avec 95\:\% de certitude, que ce soir-là, entre \numprint{17250} et \numprint{20250} foyers qui regardaient le tour de magie à la télévision ont pu constater qu’une ampoule grillait chez eux pendant les deux heures de l’émission. 



\item Conclure. Y avait-il réellement besoin de facultés paranormales pour réaliser le tour d’Uri Geller ?  
%\textbf{\textcolor{red}{Non}}, avec ou sans tour de magie, des milliers d’ampoules auraient grillé pendant que les téléspectateurs regardaient l’émission. Ainsi, pour réaliser ce tout, il suffisait de le faire sur une émission ayant une large audience. 
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  