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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices \no 1 sur les modèles d'évolution}}\end{center}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exemple 1}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère l’évolution d’une population d’une ville sur plusieurs années. Les valeurs données sont exprimées en milliers et arrondies à l’unité.

\bigskip

\footnotesize
\begin{tabular}{|l|*{7}{c|}} \hline
Année&2015&2016&2017&2018&2019&2020\\
\hline
Rang&&&&&&\\
\hline
Population&48&51&54&57&60&63\\
\hline
\end{tabular}

\normalsize
\bigskip
On note 0 l'année 2015 et on note $n$ le rang de l'année $2015+n$.
\begin{enumerate}
\item Compléter la ligne du tableau concernant le rang.

\item Représenter ci-contre le nuage de points correspondant, en prenant comme coordonnées $(n~,~u(n))$.

\item Comment ces points semblent-ils être ?

\item Quelle est l'équation de la droite passant par ces points ?

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,45)(6,65)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=47]{->}(0,47)(0,47)(6,64)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,47)(6,64)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,48)(1,51)(2,54)(3,57)(4,60)(5,63)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,48)(5,63)
\uput[u](0,64){Milliers d'habitants}
\uput[d](6,47){Rang}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection*{\textcolor{blue}{Exemple 2, d'après bac STL Métropole Biotechnologies septembre 2013}}

Le tableau suivant donne la tension artérielle (systolique) moyenne $y_{i}$ d'une population d'hommes à différents âges $x_{i}$ :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x_{i}$ en années& 25 &40 &50 &60 &70\\ \hline 
Tension artérielle moyenne $y_{i}$ en mm de mercure&118,2 &124,3 &131,9 &136,5 &142,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 \normalsize
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le repère orthogonal ci-dessous. L'axe des ordonnées sera gradué à partir de $100$ et on prendra pour unités : 2 cm pour 10 ans sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 10~mm de mercure sur l'axe des ordonnées. 
\begin{center}
\item \psset{xunit=0.16cm,yunit=0.13cm,,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(0,-5)(88,60)
\psaxes[Ox=0,Oy=100,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(86.75,57)
 \multido{\n=0+1}{86}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,55)}
 \multido{\n=0+1}{56}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(85,\n)}
 \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(85,\n)}
\multido{\n=0+5}{18}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,55)}

% \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](25,18.2)(40,24.3)(50,31.9)(60,36.5)(70,42.5)
% \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{85}{x 0.5495  mul 3.7541 add}
% \uput[d] (83,51.55){$D$}
% \def\Func{x 0.5495 mul 3.7541 add}
% \psline[linewidth=0.65pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 75 def \Func)(!75 /x 75 def \Func)(75,0)
% \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 84.091 def \Func)(!84.091 /x 84.091 def \Func)(84.091,0)
 \rput(0.87,59.3){\footnotesize Tension artérielle}
 \rput(0.87,57.8){\footnotesize   en mm de mercure}
 \rput(82,1.3){\footnotesize âge en année}
\end{pspicture}

\end{center}
\item À l'aide de la calculatrice,  on trouve qu'une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ (droite passant au plus près de tous les points) est $y = 0,55 x + 103,75$. \\
Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent. 

\item Avec ce modèle d'ajustement, estimer graphiquement, en laissant apparents les traits de construction, la tension artérielle moyenne d'un homme de $75$~ans. 

\item Avec ce modèle d'ajustement, déterminer algébriquement à partir de quel âge un homme a une tension artérielle moyenne supérieure à $150$.
\end{enumerate}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exemple 3 : droite d'ajustement linéaire}}
\noindent Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des \textbf{maxima} de tension artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée. 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{7}{c|}}
\hline
\text{åge } x_{i}&36&42&48&54&60&66\\
\hline
\text{Tension } y_{i}&12&13,5&12,6&14,3&15.4&15\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement le nuage des points $M_{i}(x_{i} , y_{i})$ dans le repère orthogonal ci-dessous. 
%On prendra pour unités graphiques 0,5 cm pour 1 en abscisse et 2 cm en ordonnée pour l'unité de tension artérielle, l'origine correspond au point $I$ de coordonnées (30~,~10).


\item Les points sont-ils alignés ? Le sont-ils à peu près ?

\item Trouver à la calculatrice la droite de régression linéaire dite aussi droite d'ajustement, c'est-à-dire la droite qui passe \og{}au plus près\fg{} des différents points. (Sur TI, menu STAT, Edit, rentrer dans la liste L1 les âges et dans la liste L2 les tensions, puis menu STATS Calc REGLIN(ax+b).

\item Représenter cette droite.

\item Une personne de 70 ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ?\\
Comparer avec la tension réelle.

\end{enumerate}



\begin{center}
\psset{xunit=0.55,yunit=1.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(34,11)(69,16.4)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=2,Dy=1,Ox=36,Oy=12]{->}(36,12)(36,12)(68,16)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](36,12)(42,13,5)(48,12,6)(54,14,3)(60,15.4)(66,15)
\multido{\n=36+1}{33}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,12)(\n,16)}
\multido{\r=12+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.5pt](36,\r)(68,\r)}
\multido{\r=12+0.5}{9}{\psline[linewidth=1.5pt](36,\r)(68,\r)}
\uput[u](36,16){Tension}
\uput[u](67,12){Âge}
\end{pspicture}
\end{center}





\label{fin}
\end{document}  