\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Modèles démographiques}}\end{center}
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Rappels}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si une quantité évolue d’une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ , on définit :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la variation absolue de cette quantité par $V_f - V_i$ ;

\item la variation relative de cette quantité par $\dfrac{V_f - V_i}{V_i}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Si la population d’un pays évolue de 2 millions à 2,2 millions alors la variation absolue est \\
$2,2 - 2 = 0,2$ millions et la variation relative est $\dfrac{2,2-2}{2}= 0,1$.
.
\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel sur les équations réduites de droites}}
Dans un repère, une droite sécante à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $y=ax+b$ ; $a$ est le coefficient directeur et $b$ est l'ordonnée à l'origine.\\
$b$ est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 0.\\
Si $A\left(x_A~;~y_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B\right)$ sont deux points de la droite, le coefficient directeur vaut : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soient $A(2~;~5)$ et $B(5~;~-7)$.\\
\parbox{6cm}{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient directeur est :

\medskip

$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-7-5}{5-2}=\dfrac{-12}{3}\\
=-4$.\\
L'équation de la droite est de la forme $y=-4x+b$.\\
$A$ appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient cette équation : $5=-4\times 2+b=-8+b$ donc $b=5+8=13$.\\
L'équation réduite de la droite $(AB)$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=-4x+13}}$
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{12cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-10)(10,22)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-10)(10,22)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-10)(10,22)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{5}{-4*x+13}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,5)(5,-7)
\end{pspicture}
\end{center}}

\subsection{\textcolor{blue}{Suites numériques}}
Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$. On a $u~:~n\mapsto u(n)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : la population d'une ville était de \numprint{10000} personnes en 2015 et augmente de 300 habitants chaque année.\\
On note $u(n)$ la population en $2015+n$.\\
On a $u(0)=\numprint{10000}$, $u(1)=u(0)+300=\numprint{10000}+300=\numprint{10300}$, $u(2)=u(1)+300=\numprint{10600}$ et plus généralement, $u(n+1)=u(n)+300$.

\subsection{\textcolor{blue}{Modèle linéaire}}
On considère l’évolution d’une population d’une ville sur plusieurs années. Les valeurs données sont exprimées en milliers et arrondies à l’unité.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&2015&2016&2017&2018&2019&2020\\
\hline
Population&48&51&54&57&60&63\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère 2015 comme l’année 0 et on note $u(n)$ la population à l’année $n$.\\
Ainsi, $u(0) = 48$, $u(1) = 51$, $u(2) = 54$, $u(3) = 57$, $u(4) = 60$ et $u(5) = 63$.\\
Si on calcule les variations absolues d’une année sur l’autre, on trouve :\\

$u(1)-u(0) = 3$~;~ $u(2)-u(1) = 3$~;~ \\
$u(3)-u(2) = 3$~;~ $u(4)-u(3) = 3$ et  $u(5)-u(4) = 3$.\\
Ainsi constate-t-on que les variations absolues sont constantes égales à 3.\\
Si on représente dans un repère les points de coordonnées $(n, u(n))$, on obtient le nuage de
points suivant :

On constate que les points sont alignés sur une droite dont le coefficient directeur est 3 et l'ordonnée à l'origine est 48.\\
L'équation. de la droite est $y=3x+48$.

\end{multicols}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,45)(6,64)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=47]{->}(0,47)(0,47)(6,64)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,47)(6,64)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,48)(1,51)(2,54)(3,57)(4,60)(5,63)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,48)(5,63)
\uput[u](0,64){Milliers d'habitants}
\uput[d](6,47){Rang}

\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip




\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit qu’une quantité $u$ dépendant d’un entier naturel $n$ a une variation linéaire si sa variation absolue $u(n + 1) - u(n)$ a une valeur constante $a$ (c’est-à-dire une valeur $a$ qui ne dépend pas de $n$).\\
La suite des valeurs $u(n)$ est alors appelée une \textbf{suite arithmétique} de \textbf{raison} $a$.
\end{bclogo}





\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si une suite de valeurs $u(n)$ est une suite arithmétique de raison $a$ alors 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les points de coordonnées $(n~;~u(n))$ sont alignés sur une droite dont le coefficient directeur est $a$ ;

\item Pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u(n) = u(0) + na}}$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}



\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} :
Dans la réalité, les variations absolues ne sont jamais ou rarement constantes. On considère cependant que le modèle linéaire est adapté si les variations absolues varient peu. Cela se traduira par le fait que les points de coordonnées $(n, u(n))$ ne sont pas parfaitement alignés mais \textbf{\textcolor{red}{approximativement}} alignés. Dans ce cas, on peut rechercher une droite qui représenterait au mieux cet alignement approximatif. Cette droite est appelée la \textbf{\textcolor{blue}{droite d’ajustement linéaire}} du nuage de points.\\
L'équation d'une telle droite se trouve à la calculatrice ou avec un tableur.\\
Voir par exemple la vidéo suivante : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=lC1lfgYE51s}{ici}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple 1}} :\\
\noindent Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des \textbf{maxima} de tension artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée. 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{7}{c|}}
\hline
\text{åge } x_{i}&36&42&48&54&60&66\\
\hline
\text{Tension } y_{i}&12&13,5&12,6&14,3&15.4&15\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement le nuage des points $M_{i}(x_{i} , y_{i})$ dans le repère orthogonal ci-dessous. 
%On prendra pour unités graphiques 0,5 cm pour 1 en abscisse et 2 cm en ordonnée pour l'unité de tension artérielle, l'origine correspond au point $I$ de coordonnées (30~,~10).

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.25,yunit=2.2,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(34,11)(67,16.4)
%\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=2,Dy=1,Ox=36,Oy=12]{->}(36,12)(36,12)(66,16)
%%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](36,12)(42,13,5)(48,12,6)(54,14,3)(60,15.4)(66,15)
%\multido{\n=36+1}{29}{\psline(\n,12)(\n,16)}
%\multido{\r=12+0.1}{40}{\psline(36,\r)(64,\r)}
%\multido{\r=12+0.5}{8}{\psline[linewidth=1.5pt](36,\r)(64,\r)}
%\uput[u](36,16){Tension}
%\uput[u](65,12){Âge}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\item Les points sont-ils alignés ? Le sont-ils à peu près ?

\item Trouver à la calculatrice la droite de régression linéaire dite aussi droite d'ajustement, c'est-à-dire la droite qui passe \og{}au plus près\fg{} des différents points. (Sur TI, menu STAT, Edit, rentrer dans la liste L1 les âges et dans la liste L2 les tensions, puis menu STATS Calc REGLIN(ax+b).

\item Représenter cette droite.

\item Une personne de 70 ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ?\\
Comparer avec la tension réelle.

\end{enumerate}




\textbf{\textcolor{blue}{Correction}}

\begin{enumerate}
\item Voilà le nuage de points.
\begin{center}
\psset{xunit=0.45,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(29,9.5)(68,16)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=2,Dy=1,Ox=30,Oy=10]{->}(30,10)(30,10)(68,16)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](30,10)(68,16)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](36,12)(42,13.5)(48,12.6)(54,14.3)(60,15.4)(66,15)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,48)(5,63)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{30}{66}{0.107*x + 8.360}

\end{pspicture}
\end{center}

\item À la calculatrice, on trouve que la droite d'ajustement a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y = 0,107x + 8,360}}$.

\item En utilisant cet ajustement, la tension maximale à 70 ans serait $0,107\times 70+8,360\approx \boxed{\textcolor{red}{15,85}}$.

\item La tension artérielle théorique (15,85) est donc inférieure à celle de cette personne de 70 ans (16,1) .
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}} : d'après bac STL Métropole Biotechnologies septembre 2013\\

\bigskip
Le tableau suivant donne la tension artérielle (systolique) moyenne $y_{i}$ d'une population d'hommes à différents âges $x_{i}$ :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x_{i}$ en années& 25 &40 &50 &60 &70\\ \hline 
Tension artérielle moyenne $y_{i}$ en mm de mercure&118,2 &124,3 &131,9 &136,5 &142,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. L'axe des ordonnées sera gradué à partir de $100$ et on prendra pour unités : 2 cm pour 10 ans sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 10~mm de mercure sur l'axe des ordonnées. 
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ (droite passant au plus près de tous les points) est $y = 0,55 x + 103,75$. \\
Tracer la droite $D$ sur le graphique précédent. 

\item Avec ce modèle d'ajustement, estimer graphiquement, en laissant apparents les traits de construction, la tension artérielle moyenne d'un homme de $75$~ans. 

\item Avec ce modèle d'ajustement, déterminer algébriquement à partir de quel âge un homme a une tension artérielle moyenne supérieure à $150$.
\end{enumerate}

Correction :

\begin{enumerate}
\item \psset{unit=0.16cm,,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(0,-5)(88,60)
\psaxes[Ox=0,Oy=100,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(86.75,57)
 \multido{\n=0+1}{86}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,55)}
 \multido{\n=0+1}{56}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(85,\n)}
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(85,\n)}
 \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,](25,18.2)(40,24.3)(50,31.9)(60,36.5)(70,42.5)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{85}{x 0.5495  mul 3.7541 add}
 \uput[d] (83,51.55){$D$}
 \def\Func{x 0.5495 mul 3.7541 add}
 \psline[linewidth=0.65pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 75 def \Func)(!75 /x 75 def \Func)(75,0)
 \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 84.091 def \Func)(!84.091 /x 84.091 def \Func)(84.091,0)
 \rput(0.87,59.3){\footnotesize Tension artérielle}
 \rput(0.87,57.8){\footnotesize   en mm de mercure}
 \rput(82,1.3){\footnotesize âge en année}
\end{pspicture}

\item Une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ est $y = 0,55 x + 103,75$. Elle est tracée ci-dessus.

\item Avec ce modèle d'ajustement, une estimation  graphique, %en laissant apparents les traits de construction,
 de la tension artérielle moyenne d'un homme de $75$~ans est d'environ \np[mm]{145} de mercure. Par le calcul, nous aurions obtenu aussi \np[mm]{145} de mercure :

($\np{0.55}\times 75+\np{103.75}=145$)
\item Avec ce modèle d'ajustement, déterminons algébriquement à partir de quel âge un homme a une tension artérielle moyenne supérieure à $150$.

 Pour ce faire, résolvons $\np{0.55}\times x+\np{103.75}=150$. 

Nous obtenons $x=\dfrac{150-\np{103.75}}{\np{0.55}}\quad x\approx \np{84.1}$.

L'âge moyen des hommes ayant une tension artérielle de \np[mm]{150} est, selon ce modèle, d'environ 84~ans.


\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 3}} : 

Sur le site de l’INSEE, on trouve les statistiques de la population française. On a ressemblé dans le tableau suivant le nombre total d’habitants en France entre 1990 et 2010.

\bigskip

$\begin{array}{|*{3}{c|}|*{3}{c|}|*{3}{c|}}\hline
\rowcolor{yellow!40}\text{année}&\text{rang}&\text{population}&\text{année}&\text{rang}&\text{population}&\text{année}&\text{rang}&\text{population}\\\hline
1990&0&\numprint{57996401}&1997&7&\numprint{59691177}&2004&14&\numprint{62251062}\\\hline
1991&1&\numprint{58280135}&1998&8&\numprint{59899347}&2005&15&\numprint{62730537}\\\hline
1992&2&\numprint{58571237}&1999&9&\numprint{60122665}&2006&16&\numprint{63186117}\\\hline
1993&3&\numprint{58852002}&2000&10&\numprint{60508150}&2007&17&\numprint{63600690}\\\hline
1994&4&\numprint{59070077}&2001&11&\numprint{60941410}&2008&18&\numprint{63961859}\\\hline
1995&5&\numprint{59487413}&2002&12&\numprint{61385070}&2009&19&\numprint{64304500}\\\hline
1996&6&\numprint{59280577}&2003&13&\numprint{61824030}&2010&20&\numprint{64612939}\\\hline\end{array}
$

En représentant le nuage de points correspondant puis en calculant une équation. de la droite d'ajustement, estimer la population atteinte en 2020.




On représente le nuage de points correspondant, en notant 0 l'année initiale et en graduant l'axe des ordonnées en millions de personnes :



%\begin{center}
%\psset{xunit=0.7,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(22,13)
%\psline{->}(0,0)(0,13)
%\multido{\n=0+1}{23}{\psline(\n,-0.2)(\n,0.2)}
%\multido{\n=0+1}{14}{\psline(-0.2,\n)(0.2,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1]{->}(0,0)(0,0)(23,0)
%\uput[l](0,1){54500000}\uput[l](0,2){-55500000}\uput[l](0,3){56500000}\uput[l](0,4){57	500000}\uput[l](0,5){58500000}\uput[l](0,6){59500000}\uput[l](0,7){60500000}\uput[l](0,8){61500000}\uput[l](0,9){62500000}\uput[l](0,10){62500000}\uput[l](0,11){63500000}\uput[l](0,12){64500000}\uput[l](0,13){65500000}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,4.496401)(2,4.780135)(3,5.071237)(4,5.352002)(5,5.570077)(6,5.987413)(7,5.780577)(8,6.191177)(9,6.399347)(10,6.622665)(11,7.00815)(12,7.44141)(13,7.88507)(14,8.32403)(15,8.751062)(16,9.230537)(17,9.686117)(18,10.10069)(19,10.461859)(20,10.8045)(21,11.112939)
%\psplot{0}{20}{0.333*x+4}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8,yunit=10,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,5.2)(22,6.6)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=1,Dy=0.10,Ox=0,Oy=5.35]{->}(0,5.35)(0,5.35)(22,6.55)
%\uput[l](0,5.45){5.45}\uput[l](0,5.55){5.55}\uput[l](0,5.65){5.65}\uput[l](0,5.75){5.75}\uput[l](0,5.85){5.85}\uput[l](0,5.95){5.95}\uput[l](0,6.05){6.05}\uput[l](0,6.15){6.15}\uput[l](0,6.25){6.25}\uput[l](0,6.35){6.35}\uput[l](0,6.45){6.45}\uput[l](0,6.55){6.55}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,5.79)(1,5.828)(2,5.886)(3,5.885)(4,5.907)(6,5.959)(7,5.928)(8,5.969)(9,5.99)(10,6.012)(11,6.051)(12,6.094)(13,6.139)(14,6.182)(15,6.225)(16,6.273)(17,6.319)(18,6.360)(19,6.396)(20,6.430)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,5.7996401)(1,5.8280135)(2,5.8571237)(3,5.8852002)(4,5.9070077)(5,5.9280577)(6,5.9487413)(7,5.9691177)(8,5.9899347)(9,6.0122665)(10,6.050815)(11,6.094141)(12,6.138507)(13,6.182403)(14,6.2251062)(15,6.2730537)(16,6.3186117)(17,6.360069)(18,6.3961859)(19,6.43045)(20,6.4612939)
%\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](0,5.760)(20,6.435)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{20}{0.0338*x+5.760}
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,5.35)(\n,6.55)}
\multido{\r=5.35+0.01}{120}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\r)(21,\r)}
\multido{\r=5.35+0.05}{25}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\r)(21,\r)}
\uput[u](0,6.55){millions de personnes}
\uput[u](21,5.35){âge}
\end{pspicture}
\end{center}


 À la calculatrice, on trouve la droite d'ajustement de ce nuage : $\boxed{\textcolor{red}{y=0,0338x+5,760}}$.\\
 En 2020, on trouve avec cette droite d'ajustement un nombre d'habitants égal à : $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{64352067}}}$.\\
 En fait, les prévisions de l’INSEE pour 2020 étaient  de $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{67063703}}}$.

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Modèle exponentiel}}
Le modèle linéaire ne s’applique qu’à des populations dont l’évolution absolue est relativement constante.\\
Certaines populations ont une évolution beaucoup plus rapide. C’est le cas, par exemple, de la population mondiale.\\
Le tableau suivant rassemble des estimations de celle-ci en milliard d’habitants.\footnote{https ://population.un.org/wpp/Download/Standard/Population/}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
année&1950&1955&1960&1965&1970&1975&1980&1985&1990\\
\hline
population&2,54&2,77&3,03&3,34&3,7&4,08&4,46&4,87&5,33\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

Si on calcule les variations absolues, on obtient :

$\begin{array}{|*{9}{c|}}\hline
0,23&0,26&0,31&0,36&0,38&0,38&0,41&0,46\\
\hline
\end{array}
$

\bigskip

Ces variations absolues ne sont pas constantes puisqu’elles varient du simple au double.\\
En revanche, si on calcule les variations relatives, on obtient :

$\begin{array}{|*{9}{c|}}\hline
0,09&0,09&0,1&0,11&0,1&0,09&0,09&0,09\\
\hline
\end{array}
$

\bigskip

Ces variations relatives sont relativement constantes.\\
Ici, le modèle linéaire ne s’applique pas. On constate un autre type d’évolution dans lequel ce ne sont pas les variations absolues mais les variations relatives qui sont (approximativement) constantes. Dans ce cas, on parle d’\textbf{\textcolor{red}{évolution exponentielle}}.

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit qu’une quantité u dépendant d’un entier naturel $n$ a une variation exponentielle si sa variation relative $\dfrac{u(n+1)-u(n)}{u(n)}$ a une valeur constante $t$ (c’est-à-dire une valeur $t$ qui ne dépend pas de $n$).\\
Le nombre $t$ est alors appelé le taux de variation de u.
Dans ce cas, la variation absolue $u(n + 1) - u(n) $est proportionnelle à $u(n)$.\\
La suite des valeurs $u(n)$ est alors appelée une \textbf{\textcolor{blue}{suite géométrique}} de raison $q = 1 + t$.\\
Autrement dit, une suite $u$ est géométrique s'il existe un nombre constant $q$ tel que, pour tout $n$, \\
$u(n+1)=q\times u(n)$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si une suite de valeurs $u(n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u(n) = u(0) \times  q^n$.
\end{bclogo}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Justification}} :
Pour tout $n$, on a $\dfrac{u(n+1)-u(n)}{u(n)}=t$ donc $u(n+1)-u(n)=tu(n)$ donc \\
$u(n+1)=u(n)+tun=(1+t)u(n)$ en mettant $u(n)$ en facteur.\\
En posant $q=1+t$, on obtient $\boxed{\textcolor{red}{u(n+1)=qu(n)}}$.\\
On a successivement : 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(1)=u(0)\times q$.

\item $u(2)=qu(1)=q\times (u(0)\times q)=u(0)\times q^2$.

\item $u(3)=qu(2)=q\times (u(0)\times q^2)=u(0)\times q^3$.

\item $u(4)=qu(3)=q\times (u(0)\times q^3)=u(0)\times q^4$.

\vdots
\item $u(n)=qu(n-1)=q\times (u(0)\times q^{n-1})=u(0)\times q^{n}$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : la légende de l'échiquier :}}\\
On raconte que l'inventeur de l'échiquier se serait vu proposer comme récompense de la part de son roi ce qu'il voulait.\\
Il a alors demandé à ce qu'on lui donne un grain de blé sur la première case de l'échiquier, puis deux grains sur la seconde case, puis quatre grains sur la troisième et qu'on double à chaque fois la quantité de grains pour chaque case.\\
Ainsi obtient-on une suite géométrique, de premier terme 1 et de raison $q=2$.\\
On a : $u(0)=1$, $u(1)=2$, $u(2)=2^2=4$ etc.\\
Le terme général est alors $u(n)=u(0)\times 2^n$.\\
Un échiquier compte 64 cases ; sur la 64\ieme{} case qui correspond à $n=63$ (puisqu' l'on part de 0), le nombre de grains serait : $1\times 2^{63}=\numprint{9223372036854775808}$ (nombre supérieur à la production mondiale actuelle de blé !).

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Application}} :\\
Reprenons l’exemple précédent de la population mondiale.\\
Notons $u$ la population mondiale en prenant 5 années comme unité de temps et $n = 0$ pour l’année 1950.\\
Alors, le taux de variation de u est $t \approx 0,1$ donc la raison de u est $q \approx 1,1$.\\
Ainsi, pour tout entier naturel n, $\boxed{\textcolor{red}{u(n) \approx 2,54 \times  1,1^n}}$.

Dans ce modèle, la population en 2020 est estimée à $u(14) \approx 2,54 \times  1,1^{14}\approx 9,64$ milliards de personnes car $2020 = 1950 + 5 \times  14$ donc 2020 correspond à l’année $n = 14$.\\
Dans le document cité précédemment, l’ONU évalue la population mondiale en 2020 à 7,79 milliards d’individus donc l’estimation est plus élevée que la réalité.\\
À ce rythme, la population mondiale en 2050 serait $u(20) \approx 2,54 \times  1,1^{20} \approx 17$ milliards d’individus. Cependant, pour diverses raisons (le manque de ressources notamment) la progression sera moindre et l’ONU estime que la population mondiale en 2050 sera de l’ordre de 10 milliards d’individus.

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Le modèle de Malthus (économique britannique et prêtre anglican (1766-1834))}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Extrait d'un texte de Malthu}s}


En 1798, l’économiste anglais Robert Thomas Malthus publie son Essai sur le principe de population dans lequel il compare l’évolution de la population humaine et celles des ressources naturelles. \\
Ainsi, au chapitre 1, écrit-il : \\
\og{}Selon la table d’Euler, si l’on se base sur une mortalité de 1 sur 36 et si naissances et morts sont dans le rapport de 3 à 1, le chiffre de la population doublera en 12 années et 4/5. Ce n’est point là une simple supposition : c’est une réalité qui s’est produite plusieurs fois, et à de courts intervalles. \\
Cependant, pour ne pas être taxé d’exagérations, nous nous baserons sur l’accroissement le moins rapide, qui est garanti par la concordance de tous les témoignages. \\
Nous pouvons être certains que lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle double tous les vingt-cinq ans, et croît ainsi de période en période selon une progression géométrique.
Il est moins facile de mesurer l’accroissement des produits de la terre.\\
Cependant, nous sommes sûrs que leur accroissement se fait à un rythme tout à fait différent de celui qui gouverne l’accroissement de la population. [\dots]\\
Examinons dans quelle mesure la production de notre île pourrait être accrue, dans des circonstances idéales. Supposons que grâce à une excellente administration, sachant donner de puissants encouragements aux cultivateurs, la production des terres double dans les vingt-cinq premières années (il est d’ailleurs probable que cette supposition excède la vraisemblance !) \\
Dans les vingt-cinq années suivantes, il est impossible d’espérer que la production puisse continuer à s’accroître au même rythme, et qu’au bout de cette seconde période la production de départ aura quadruplé : ce serait heurter toutes les notions acquises sur la fécondité du sol. \\
L’amélioration des terres stériles ne peut résulter que du travail et du temps ; à mesure que la culture s’étend, les accroissements annuels diminuent régulièrement.\\
Comparons maintenant l’accroissement de la population à celui de la nourriture. Supposons d’abord (ce qui est inexact) que le coefficient d’accroissement annuel ne diminue pas, mais reste constant. Que se passe-t-il ? \\
Chaque période de vingt-cinq ans ajoute à la production annuelle de la Grande-Bretagne une quantité égale à sa production actuelle. Appliquons cette supposition à toute la terre : ainsi, à la fin de chaque période de vingt-cinq ans, une quantité de nourriture égale à celle que fournit actuellement à l’homme la surface du globe viendra s’ajouter à celle qu’elle fournissait au commencement de la même période.\\
Nous sommes donc en état d’affirmer, en partant de l’état actuel de la terre habitable, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables à la production, ne peuvent jamais augmenter à un rythme plus rapide que celui qui résulte d’une progression arithmétique.\\
Comparons ces deux lois d’accroissement : le résultat est frappant. Comptons pour onze millions la population de la Grande-Bretagne, et supposons que le produit actuel de son soi suffit pour la maintenir. Au bout de vingt-cinq ans, la population sera de vingt-deux millions ; et la nourriture ayant également doublé, elle suffira encore à l’entretenir. Après une seconde période de vingt-cinq ans, la population sera portée à quarante-quatre millions : mais les moyens de subsistance ne pourront plus nourrir que trente-trois millions d’habitants. 
Dans la période suivante, la population - arrivée à quatre-vingt-huit millions - ne trouvera des moyens de subsistance que pour la moitié de ce nombre. À la fin du premier siècle, la population sera de cent soixante-seize millions, tandis que les moyens de subsistance ne pourront suffire qu’à cinquante-cinq millions seulement.
Cent vingt et un millions d’hommes seront ainsi condamnés à mourir de faim !\\
Considérons maintenant la surface de la terre, en posant comme condition qu’il ne sera plus possible d’avoir recours à l’émigration pour éviter la famine. Comptons pour mille millions le nombre des habitants actuels de la Terre. La race humaine croîtra selon la progression 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... tandis que les moyens de subsistance croîtront selon la progression 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Au bout de deux siècles, population et moyens de subsistance seront dans le rapport de 256 à 9 ; au bout de trois siècles, 4 096 à 13 ; après deux mille ans, la différence sera immense et incalculable. \fg{}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Questions sur ce texte}}

\begin{enumerate}
\item Quel taux de mortalité $t_m$ prend Malthus ?

\item Quel serait alors le taux de natalité $t_n$ ?

\item Montrer alors que le taux de variation de la population est $t=\dfrac{1}{18}$.

\item Il fait l'hypothèse d'une croissance exponentielle ; la raison de la suite géométrique associée est donc $q=1+t$.\\
Que vaut $q$ ?

\item On cherche au bout de combien de temps la population va doubler. En admettant que calculs de pusissances avec des exposants entiers puissent s'étendre avec des exposants réels, on cherche un nombre $x$ tel que $\left(\dfrac{19}{18}\right)^x\approx 2$.\\
Trouver à la calculatrice une valeur approximative de $x$.

\item Malthus avait trouvé, à l'aide de la table d'Euler, $x=12+\dfrac{4}{5}\approx 12,8$. Comparer avec le résultat que tu as trouvé.

\item Pour ne pas être accuser d’exagérer, il décide de prendre une estimation basse en partant du fait que la population double tous les 25 ans. Il prend alors cette période comme unité de temps et estime que, si la population humaine a une évolution exponentielle, la production de nourriture a une évolution linéaire, celle-ci augmentant d’une unité tous les 25 ans.\\
En prenant l’exemple de la Grande-Bretagne du début du XIX\ieme{} siècle, il s’intéresse alors à deux suites : la suite de valeurs $u(n)$ de la population et la suite de valeurs $v(n)$ des\
Fixons $v(0) = 11$ dans une unité fictive.\\
Donner alors l'expression de $u(n)$ et de v$(n)$.\\
Compléter alors le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
année&1800&1825&1850&1875&1900\\
\hline
$n$&0&1&2&3&4\\
\hline
$u(n)$&11&22&&&\\
\hline
$v(n)$&11&22&&&\\
\hline
$u(n)-v(n)$&0&0&11&&\\
\hline
\end{tabularx}


\bigskip
La dernière ligne du tableau représente les nombres de personnes ne pouvant être nourries. Ainsi, Malthus conclut qu’en un siècle, 121 millions des personnes seront condamnées à la famine.\\
Compléter le  graphique suivant pour visualiser ces deux évolutions.
\begin{center}
\psset{xunit=4,yunit=0.05,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-20)(4.5,220)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(4,220)
\multido{\r=0+0.2}{21}{\psline[linewidth=0.4pt](\r,0)(\r,200)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+2}{100}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}


\item Quelles critiques peut-on faire sur le modèle de Malthus ?
\end{enumerate}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Correction}}
Commençons par expliquer les résultats du premier paragraphe.\\
Malthus se base sur un taux de mortalité (rapport entre le nombre annuel de décès et la population totale moyenne sur une période et dans un territoire donné.) de $t_m = \dfrac{1}{36}$ et sur un nombre de naissances égal au triple du nombre de
décès c’est-à-dire un taux de natalité de $t_n=3\times\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{12}$ .\\
Dans ce cas, le taux de variation de la population est $t = t_n - t_m = \dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{1}{18}$.\\
De plus, il fait l’hypothèse d’une croissance exponentielle de la population donc la raison de la suite géométrique associée est $q=1+t=1+\dfrac{1}{18}=\dfrac{19}{18}$.\\
Ainsi, chaque année la population est multipliée par $\dfrac{19}{18}$ et on cherche un temps au bout duquel la population a été multipliée par 2.\\
En admettant que ce qui a été vu pour les entiers peut s’étendre à des puissances réelles quelconques, on cherche donc un réel $x$ tel que $\left(\dfrac{19}{18}\right)^x=2$.\\
À l’aide d’une table de calcul (la table d’Euler), Malthus conclut que $x=12+\dfrac{4}{5}=12,8$ années.\\
Avec une calculatrice, on peut en effet vérifier que $\left(\dfrac{19}{18}\right)^{12,8}\approx1,998$ donc une valeur très proche de 2.\\
On peut aussi utiliser la fonction $\ln$ en trouvant $x=\dfrac{\ln(2)}{\ln\left(\frac{19}{18}\right)}$.

\bigskip

Pour ne pas être accuser d’exagérer, il décide de prendre une estimation basse en partant du fait que la population double tous les 25 ans.\\
Il prend alors cette période comme unité de temps et estime que, si la population humaine a une évolution exponentielle, la production de nourriture a une évolution linéaire, celle-ci augmentant d’une unité tous les 25 ans.\\
En prenant l’exemple de la Grande-Bretagne du début du XIX\ieme{} siècle, il s’intéresse alors à deux suites : la suite de valeurs $u(n)$ de la population et la suite de valeurs $v(n)$ des ressources alimentaires où n désigne une unité de temps c’est-à-dire une période de 25 ans.\\
Dans son modèle, $u$ est une suite géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u(0) = 11$ (en millions) et $v$ est une suite arithmétique de raison $r=11$. Il ne précise pas le premier terme de $v$ mais suppose que $v(0)$ est la quantité de ressources nécessaire et suffisante pour nourrir les 11 millions de la population.\\
Fixons $v(0) = 11$ dans une unité \textbf{fictive}.\\
On a alors, pour tout entier naturel n, $u(n) = 11 × 2^n$ et $v(n) = 11 + 11n$.\\
Ses calculs le conduisent alors aux résultats suivants :

\bigskip

$\begin{array}{|*{6}{l|}}\hline
\rowcolor{red!30}\text{année}&1800&1825&1850&1875&1900\\
\hline
n&0&1&2&3&4 \\
\hline
u(n)&11&22&44&88&176\\
\hline
v(n)&11&22&33&44&55\\
\hline
u(n)-v(n)&0&0&11&44&121\\
\hline

\end{array}$

\bigskip

La dernière ligne du tableau représente les nombres de personnes ne pouvant être nourries.\\
Ainsi, Malthus conclut-il qu’en un siècle, 121 millions des personnes seront condamnées à la famine.\\
On peut visualiser les deux évolutions à l’aide du graphique suivant.
      
      \begin{center}
\psset{xunit=3,yunit=0.04,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-20)(4.5,220)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(4,220)
\multido{\r=0+0.2}{21}{\psline[linewidth=0.4pt](\r,0)(\r,200)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline(\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+2}{100}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(4,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,11)(1,22)(2,44)(3,88)(4,176)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{4}{11*2^x}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,11)(1,22)(2,33)(3,44)(4,55)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,11)(4,55)
\uput[r](4,176){Évolution de la population}
\uput[r](4,55){Évolution des ressources}
\end{pspicture}
\end{center}

3) \textbf{\textcolor{blue}{Limites et critiques du modèle de Malthus}}

Le modèle exponentiel pour l’accroissement de la population peut s’avérer en adéquation avec la réalité mais seulement sur des temps relativement courts.\\
Ainsi a-t-on a vu précédemment que la croissance exponentielle de la population mondiale enregistrée ces 30 dernières années ne sera plus valable dans les années 30 ans à venir. On voit d’ailleurs que la prédiction de Malthus sur l’évolution de la population mondiale ne s’est pas réalisée car si celle-ci était bien d’environ 1 milliards d’individus en 1800, elle était d’environ 1,6 milliards en 1900 et non pas de 16 milliards comme le prévoyait son modèle.\\
Malthus lui-même reconnaît dans son ouvrage que des obstacles vont empêcher une croissance indéfinie de la population. Il classe ces obstacles en deux catégories : d’un côté, les obstacles \og{}répressifs\fg{} qui sont tous les facteurs externes à l’espèce humaine qui engendre une surmortalité comme la famine, la guerre, les épidémies ; d’un autre côté, les obstacles \og{}préventifs\fg{} qui regroupent les comportements humains visant à diminuer la natalité comme la contraception, les politiques natalistes, le célibat.\\
Par ailleurs, le principe de progression arithmétique des ressources alimentaires est mise en doute dès 1848 par le logicien et économique John Stuart Mill qui met en avant le fait que Malthus ne donne aucun argument pour étayer cette hypothèse de croissance linaire.\\
De plus, l’absence de liens entre population et capacité de production sous-jacente dans le modèle Malthus a été l’objet de nombreuses critiques notamment par l’économiste danoise Ester Boserup dans son ouvrage Évolution agraire et pression démographique, paru en 1965.\\
Pour elle, \og{}la juxtaposition des croissances arithmétique des ressources et géométrique de la population n’a pas de raison d’être puisque la première est déterminée par la seconde.\\
L’innovation, et donc la propension à produire davantage, est une fonction directe de l’effectif de la population. Ester Boserup donne à ce propos une correspondance entre des systèmes de culture (cueillette, agriculture itinérante, jachère de savane\dots) et des fourchettes de densité de population observées à travers de multiples exemples historiques. Si ces relations ne sont pas systématiques dans leur déroulement chronologique en termes d’effectifs de population, en revanche leur sens l’est. C’est ainsi que l’on a pu observer, notamment dans certaines régions d’Amérique latine, une régression des techniques agricoles à la suite d’une baisse des effectifs de la population. \fg{}.\\


\label{fin}
\end{document}  





