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\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red} {Correction des exercices sur les intervalles de confiance (feuille 2)}}\end{center}



\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $f_A=0,68$~;~$f_B=0,56$.\\
Les conditions pour avoir des intervalles de confiance sont vérifiées.\\
$I_A=[0,58~;~0,78]$.\\
$I_B=[0,46~;~0,86]$.\\
Les deux intervalles se chevauchent donc on ne peut pas conclure quant à l'efficacité du médicament !

\item On doit avoir $0,56+\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,68-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,12$.\\
On en déduit $n>277,7$ donc $\boxed{\textcolor{red}{n= 278}}$

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée est $f=\dfrac{39}{50}=\dfrac{78}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,78}}$.

\item La proportion $p$ au niveau de la population entière, au niveau de confiance 0,95, appartient à l'intervalle :\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,7-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;~0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,64~;~0,92]}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Les 16\:\% ne servent à rien !\\
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
On doit avoir $\dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{n>400}}$

\subsection{}
Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de $100$~clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 clés sont sans défaut donc la fréquence de clés sans défaut dans cet échantillon est $f=\dfrac{94}{100}=0,94$.

%\smallskip

%Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, est donné par:
$I=\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ]$.

$f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0,94 - 0,1 = 0,84$;
$f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0,94 + 0,1 = 1,04$ que l'on remplacera par 1 car une probabilité ne peut dépasser 1.
L'intervalle de confiance est donc $\boxed{\textcolor{red}{[ 0,84~;~1]}}$.

\label{fin}
\end{document}  