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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les suites géométriques}}\end{center}




\subsection{}
Soit $\left(u(n)\right)$ une suite géométrique telle que \\
$u(0) = 7$ et sa raison est égale à $q=3$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer les trois premiers termes qui suivent $u(0)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(1)=qu(0)=3\times 7=\boxed{\textcolor{red}{21}}$

\item $u(2)=qu(1)=3\times 21=\boxed{\textcolor{red}{63}}$

$u(3)=qu(2)=3\times 63=\boxed{\textcolor{red}{189}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer $u(9)$.
Le terme général est $u(n)=u(0)\times q^n=7\times 3^n$ donc $u(9)=7\times 3^9=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{15309}}}$

\end{enumerate}


\subsection{}
Calculer le 10\ieme{} terme et le 35\ieme{} terme de la suite géométrique de premier terme u(1) = 0,9 et de raison \\
$q = 2$.
La suite géométrique a pour raison $q$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(10)=u(1)\times q^9=0,9\times 2^9=\boxed{\textcolor{red}{460,8}}$

\item $u(35)=0,9\times 2^{34}=0,9\times \numprint{17179869184}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{15461882265,6}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer la raison positive d'une suite géométrique dont on connait les termes suivant : \\
$u(3) = 3$ et $u(5) = 12$.\\
$u(5)=u(3)\times q^2$ donc $q^2=\dfrac{u(5)}{u(3)}=\dfrac{12}{3}=4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{q=2}}$ car $q>0$

\subsection{}
La population actuelle augmente de 1\:\% par an. En 2010, elle était de 6,9 milliards. On note $u(n)$ la population mondiale l'année $2010+n$.

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi la suite $\left(u(n)\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme $u(0)$ et sa raison.
Pour tout $n$, $u(n+1)=\left(1+1\:\%\right)u(n)=1,01u(n)$ donc la suite $\left(u(n)\right)$ est géométrique, de raison $q=1,01$ et de prempier terme $u(0)=6,9$.

\item %Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$, $u(n)=u(0)\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{6,9\times 1,01^n}}$

\item %En supposant que le taux d'accroissement se maintienne, estimer la population mondiale en 2025.
2025 correspond à $n=15$ ; $u(15)\approx 8,01$ ; en 2025, la population sera de 8,01 milliards environ.

\item %A l'aide de la calculatrice, estimer en quelle année les 9 milliards d'habitants seront atteints.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(26)\approx 8,93$

\item $u(27)\approx 9,03>9$
\end{enumerate}
La population dépassera 9 milliards d'habitants en 2037
\end{enumerate}

\subsection{}
Pour répondre à une nouvelle norme antipollution, un important groupe industriel de l’agroalimentaire doit ramener progressivement sa quantité de rejets, qui est de \numprint{50000} tonnes par an en 2012, à une valeur inférieure ou égale à \numprint{30000} tonnes en 10 ans au plus, soit une réduction de 40\:\%.\\
Il s’engage à réduire chaque année sa quantité de rejets de 4\:\%.

\begin{enumerate}
\item %S’il rejette \numprint{48000} tonnes en 2013, respecte-t-il son engagement ? Justifier la réponse.
$\dfrac{48000-50000}{50000}=-0,04=-4\:\%$. Il respecte son engagement.

\item Pour tout entier naturel n, on note $r(n)$ la quantité de rejets de l’année \og{}$2012 + n$\fg{}.


\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer \\
%$r(n+1)$ en fonction de $r( n)$. Quelle est la nature de la suite $(r(n))$ ? Justifier la réponse.
$r(n+1)=\left(1-4\:\%\right)r(n)=\boxed{\textcolor{red}{0,96r(n)}}$.\\
La suite de terme général $r(n)$ est géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,96}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{r(0)=\numprint{50000}}}$

\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $r(n)$ en fonction de $n$.
$r(n)=r(0)q^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{50000}\times 0,96^n}}$

\end{enumerate}

\item %Calculer, à la tonne près, la quantité de rejets prévue en 2022. La norme sera-t-elle respectée en 2022 ?
2022 correspond à $n=10$.\\

$r(10)=\numprint{50000}\times 0,96^{10}\approx 33241,6>\numprint{30000}$.\\
La norme ne sera donc pas respectée en 2022.

\item %Un taux annuel de diminution de 5\:\% permettrait-elle de respecter la norme ? Justifier la réponse.
Avec un taux de réduction de 5\:\%, on q $q=0,95$.\\
Alors $u(22)=\approx \numprint{29937}<\numprint{30000}$.\\
La norme serait respectée.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  
