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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les suites arithmétiques et le modèle linéaire}}\end{center}



\subsection{}
Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u(0)$ et de raison $r$.\\
Dans chaque cas, calculer $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.
\begin{enumerate}

\item $u(0)=1$ et $r=3$.\\
$u(n)=u(0)+nr$ donc $u(1)=4$, $u(2)=7$ et $u(3)=10$.

\item $u(0)=5$ et $r=-2$.\\
$u(1)=3$, $u(2)=1$ et $u(3)=-1$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $u$ une suite arithmétique. Dans chaque cas, donner le terme général de $u(n)$.
\begin{enumerate}
\item $u(0)=1$ et $u(3)=7$.\\
$u(3)=u(0)+3r$ donc $3r=u(3)-u(0)=7-1=6$ d'où $r=2$ ; alors $u(n)=u(0)+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=1+2n=2n+1}}$

\item $u(1)=-5$ et $u(9)=-7$.\\
$u(n)=u(p)+(n-p)r$ donc $u(9)=u(1)+(9-1)r$ d'où $-7=-5+8r$. On en déduit $r=\dfrac{-7+5}{8}=-\dfrac{1}{4}$.\\
Alors $u(0)=u(1)-r=-5+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{19}{4}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=-\dfrac{19}{4}-\dfrac{1}{4}n=-\dfrac{n+19}{4}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Un écureuil décide de faire des réserves de noisettes pour l'hiver. Le premier jour, il compte le nombre de noisettes qu'il lui reste en réserve : il en a 40. À partir du second jour, il ajoute 10 noisettes supplémentaires à son stock chaque jour. On note $u(n)$ la suite donnant le nombre de noisettes en réserve au $n$-ème jour de récolte, ainsi $u(0)=40$. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$u(1)=u(0)+10=40+10=\boxed{\textcolor{red}{50}}$, $u(2)=u(1)+10=60$.

\item %Quelle est la nature de $u(n)$. Préciser sa raison.
Pour tout $n$, $u(n+1)=u(n)+10$ ; $u$ est une suite arithmétique de raison $r=10$ et de premier terme $u(0)=40$.

\item %Donner l'expression de $u(n)$ en fonction de $n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Òn en déduit $u(n)=u(0)+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=40+10n}}$.

\item %L'écureuil estime qu'il a besoin de 500 noisettes en réserve pour passer l'hiver. Au bout de combien de jours aura-t-il atteint ce nombre ?
On cherche $n$ el que $u(n)=500$ donc $40+10n=500$ ; on trouve : $10n=500-40=460$ d'où $n=46$.\\
Il aura atteint ce nombre au bout de 46 jours.
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Bac Métropole STMG juin 2017}}


Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la
Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.15cm}|*{5}{c|}}
\hline
Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
Rang de l'année: $x_i$& 1 &2 &3& 4& 5\\\hline
Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$& \np{2589,70}&\np{2324,85} & \np{2507,55}&\np{2847,85}  &\np{3081,45}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en
fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{150.65}x+\np{2218.33}$, les coefficients étant arrondis au centième.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation :$y = 150,7x + 2 218,3$.
\begin{enumerate}
\item   La droite $D$ est tracée sur le graphique de l'\textbf{annexe 2}.
\item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donnons  une estimation du prix moyen d'une tonne de
cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. Nous avons alors $n=10$. En remplaçant $x$ par 10 dans l'équation de la droite 
$y=\np{150.7}\times 10+\np{2218,3} = \np{3725,3}$.

Une estimation du prix moyen d'une tonne de cacao au début 2020 est de \np[\$]{3725,30}.

{\footnotesize \textsc{Remarque :} Nous trouvons une estimation similaire par la lecture graphique.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.003cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-100)(\n,2900)}
\multido{\n=-100+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.55,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =2,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45)
\uput[u](0.5,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de}\uput[u](0.5,3000){\footnotesize cacao(en dollar)}
\uput[dr](8.75,- 150){\footnotesize Rang de l'année}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.1}{x 150.7  mul 718.3 add}
\psset{arrowscale=2}
 \def\Func{x 150.7 mul 718.3 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\uput[l](-0.08,2225,3){\textcolor{violet}{\footnotesize $\approx 3725$}}\uput[d](9.5,2150){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Bac STMG Polynésie juin 2017}}
Des sondages quotidiens ont été effectués avant le second tour d'une élection opposant deux
candidats A et B. Les intentions de votes, en pourcentage, pour le candidat A sont données
dans le tableau suivant:

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Dates:&24/04 &25/04& 26/04& 27/04& 30/04& 01/05& 02/05 &03/05 &04/05\\\hline
Rang du jour $x_i$&1&2& 3& 4& 7& 8& 9& 10& 11\\\hline
Pourcentage $y_i$&55 &55& 54,5& 55& 54& 53,5& 53& 53& 52\\\hline
\end{tabularx}

\smallskip

Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de 55\,\% et pour le
candidat B de 45\,\%.

Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les
deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai.

Le nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ pour $i$ variant de $1$ à $11$, est donné ci-dessous



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $\boxed{\textcolor{red}{y=-\np{0.279}x+\np{55.594}}}$ ( les coefficients étant  arrondis au millième).

\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $D$ d'équation $y = -0,28x + 55,6$.

\begin{enumerate}
\item  La droite $D$ est tracée sur le graphique figurant sur le graphique ci-dessous.

\item Déterminons la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l'élection. En ce jour $n=13$. En remplaçant $x$ par 13 dans l'équation de la droite, nous obtenons 

$y=-\np{0.28}\times 13+\np{55.6}=\boxed{\textcolor{red}{\np{51.96}}}$.

\item  Si l'élection n'avait pas eu lieu le 6 mai, déterminons d'après ce modèle, à partir de quelle
date le candidat B serait passé en tête des sondages. Pour ce faire, résolvons $-\np{0.28}x+\np{55.6} <50$.

$-\np{0.28}x+\np{55.6} <50  \quad -\np{0.28}x+ <50-\np{55.6} \quad -\np{0.28}x+ <-\np{5.6} \quad x> \dfrac{\np{5.6}}{\np{0.28}}\quad x>20$

À $x=20$ correspond le 13 mai par conséquent selon ce modèle, le candidat B serait en tête des sondages \textbf{\textcolor{red}{à partir du quatorze mai inclus}}. 

\end{enumerate}
\item Des sondages ont été faits le jour de l'élection mais n'ont pas été communiqués. Un de
ces sondages donnait le candidat A à 52\,\%. L'institut disait avoir effectué ce sondage
sur un échantillon représentatif de \np{1225} personnes.
\begin{enumerate}
\item  Au vu de ce dernier sondage, établissons l'intervalle de confiance au niveau de
95\,\%, pour le résultat du candidat A à l'élection.

L'intervalle de confiance au niveau de 95\,\% est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ d'où 

$\left[\np{0.52}-\dfrac{1}{\sqrt{\np{1225}}}~;~\np{0.52}+\dfrac{1}{\sqrt{\np{1225}}}\right]\approx [\np{0.491}~;~\np{~0.549}]$
soit en pourcentage l'intervalle $\boxed{\textcolor{red}{[49,1~;~54,9]}}$.

\item Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat ne semble pas assurée puisque la probabilité que le résultat soit inférieur à 50\,\% n'est pas nulle.

$[49,1~;~54,9]\cap[0~;~50[\not=\emptyset$
%\emph{Justifier la réponse}.
\end{enumerate}\end{enumerate}

\end{multicols}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(23,27)
\multido{\n=0+1}{24}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,22)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(23,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=45,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(23,24)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,10)(2,10)(3,9.5)(4,10)(7,9)(8,8.5)(9,8)(10,8)(11,7)
 \uput[ur](-0.75,23){\footnotesize \%}\uput[d](23,-0.95){\footnotesize rang du jour }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{22}{x 0.28 neg mul 10.6 add}
\end{pspicture}
\end{center} 


\label{fin}
\end{document}  