\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La fréquence des personnes votant pour Lofti est $f=\dfrac{52}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,52}}$.\\
L'intervalle de confiance est $I=\left[0,52-\dfrac{1}{100}~;~0,52+\dfrac{1}{100}\right]=\boxed{\textcolor{red}{[0,42~;~0,62]}}$.

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $n=100$ donc $n\geqslant 30$

\item $nf=52\geqslant 5$

\item $n(1-f)48\geqslant 5$
\end{enumerate}
Les conditions sont remplies.\\
L'intervalle de confiance au niveau 0,95 est $I$. On en déduit que la proportion réelle $p$ de gens votant pour Lofti appartient à cet intervalle.

\item Il faut que $f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0,5$ (borne inférieure de l'intervalle de confiance).\\
$0,52-\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0,5\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{n>\numprint{2500}}}$

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $f_A=0,68$~;~$f_B=0,56$.\\
Les conditions pour avoir des intervalles de confiance sont vérifiées.\\
$I_A=[0,58~;~0,78]$.\\
$I_B=[0,46~;~0,86]$.\\
Les deux intervalles se chevauchent donc on ne peut pas conclure quant à l'efficacité du médicament !

\item On doit avoir $0,56+\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,68-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,12$.\\
On en déduit $n>277,7$ donc $\boxed{\textcolor{red}{n= 278}}$

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée est $f=\dfrac{39}{50}=\dfrac{78}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,78}}$.

\item La proportion $p$ au niveau de la population entière, au niveau de confiance 0,95, appartient à l'intervalle :\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,7-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;~0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,64~;~0,92]}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Les 16\:\% ne servent à rien !\\
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
On doit avoir $\dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{n>400}}$

\label{fin}
\end{document}  