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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'activité sur le taux de reproduction $R$ de la Covid 19}}\end{center}
Source : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/covidR.pdf


\bigskip

Dans le tableau suivant, on a reporté le nombre de nouveaux cas journaliers atteints du virus de la Covid-19, chaque samedi et du 5 septembre au 24 octobre 2020.\\

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Jour&5 septembre&12 septembre&19 septembre&26 septembre&3 octobre&10 octobre&17 octobre&24 octobre\\
\hline
Nombre de nouveaux cas&\numprint{8550}&\numprint{10561}&\numprint{13498}&\numprint{14412}&\numprint{16972}&\numprint{26896}&\numprint{32427}&\numprint{45422}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\hfill \emph{Source : Santé Publique France - ARS}

\subsection{}


\begin{enumerate}
\item Représenter les données du tableau dans le graphique suivant. (en ordonnées : 1 cm pour \numprint{5000} cas).\\
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.0002,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-5000)(9,50000)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=5000]{->}(0,0)(0,-1)(9,50000)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,0)(\n,50000)}
\multido{\n=0+1000}{51}{\psline[linewidth=0.7pt](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=0+5000}{11}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(9,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,8550)(1,10561)(2,13498)(3,14412)(4,16972)(5,26896)(6,32427)(7,45422)
\end{pspicture}
\end{center}
Commenter le nuage de points ainsi obtenu.

\item %Justifier que, du 5 septembre au 12 septembre, le nombre de nouveaux cas est multiplié par environ 1,235.
Du 5 septembre au 12 septembre, le coefficient multiplicateur est $C=\dfrac{\numprint{10561}}{\numprint{8550}}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1,2352}}}$ qu'on peut arrondir à 1,235.
Ce coefficient, noté $R$, est appelé le taux de reproduction du virus. Celui-ci désigne le nombre de nouveaux cas qu’une seule personne infectieuse va générer en moyenne dans une population.\\
Si $R = 2$ par exemple, deux personnes atteintes en infecteront en moyenne quatre autres, qui elles en infecteront huit nouvelles\dots

\item  %Calculer, de même, les taux de reproduction du virus pour les autres semaines.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Jour&5 septembre&12 septembre&19 septembre&26 septembre&3 octobre&10 octobre&17 octobre&24 octobre\\
\hline
Nombre de nouveaux cas&\numprint{8550}&\numprint{10561}&\numprint{13498}&\numprint{14412}&\numprint{16972}&\numprint{26896}&\numprint{32427}&\numprint{45422}\\
\hline
R&&1,235&1,278&1,068&1,178&1,585&1,206&1,401\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}\end{tablarx}

\item %Démontrer que le taux de reproduction \textbf{moyen} hebdomadaire est environ égal à \numprint{1,279}.
La moyenne de de ces valeurs est environ égale à 1,279.

\end{enumerate}


\subsection{}Dans cette partie, on prendra $R = 1,27$ comme taux de reproduction hebdomadaire du virus.\\
On note $u(n)$ le nombre de nouveaux cas à la $n\ieme$ semaine après le 5 septembre. On a donc : $u(0) = \numprint{8550}$.\\
On admettra que le modèle mathématique reste valable au-delà du 24 octobre 2020.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la suite $(u(n))$ ? Déterminer sa raison.
Pour tout $n$, on a donc $u(n+1)=1,27u(n)$ ; la suite $(u(n))$ est donc géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,27}}$.

\item %Écrire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u(n)$ en fonction de $n$.
On en déduit : $u(n)=u(0)q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=8550\times 1,27^n}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer $u(9)$ et interpréter le résultat.
On obtient : $u(9)\approx \numprint{73485}$.\\
On en déduit qu'avec cette estimation, le 7/11/2020, le nombre de contaminée est  \numprint{73485}.

\item Calculer le nombre de nouveaux cas :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item le 31 octobre, ($n=8$) le nombre de contaminés est environ égal à $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{57862}}}$.

\item le 21 novembre, ($n=11$) le nombre de contaminés est environ égal à $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{118524}}}$.
\end{enumerate}  

\item %Selon ce modèle, à quelle date, le nombre de nouveaux cas journaliers dépasserait-il théoriquement le million ? Détailler la démarche mise en œuvre pour trouver (par calcul, à l’aide d’un tableur, ...).
Selon ce modèle, le nombre de contaminés dépasse 1 million pour $n=20$, donc le 23/01/2021.

\item (Pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité)\\
 %Calculer le nombre total de cas cumulés entre le samedi 5 septembre et le vendredi 6 novembre inclus.\\
Le nombre total de cas cumulés entre le samedi 5 septembre et le vendredi 6 novembre inclus est :\\
$S=u(0)+\cdots u(8)=u_0\times \dfrac{q^9-1}{q-1}\approx \numprint{2030991}$

\textbf{\textcolor{blue}{Indication}} :\\
Pour simplifier les calculs, on considère que le nombre de malades reste constant sur les 6 jours consécutifs à un samedi donné.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : Le 30 octobre 2020, le gouvernement a imposé pour 4 semaines un confinement dans toute la France afin de freiner la propagation de la maladie.

\end{enumerate}


\subsection{}Dans cette partie, le taux de reproduction hebdomadaire du virus $R$ n’est pas connu.\\
On considère les fonctions $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$,par $f(𝑥)=\numprint{8550}\times R^x$.

\begin{enumerate}
\item  À l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel, reproduire dans un même repère l’allure des fonctions $f$ lorsque :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $R=1,3$

\item $R=2,5$

\item $R=0,5$

\item $R=0,8$

\item $R=1$

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.0002,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-5000)(9,100000)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=5000]{->}(0,0)(0,-1)(9,100000)
\psplot[linewidth=2pt]{0}{9}{8550*1.3^x}
\uput[r](8,69337){$\mathscr{C}_{1,3}$}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{2.3}{8550*2.5^x}
\uput[r](1.5,33916){$\mathscr{C}_{2.5}$}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{8}{8550*0.5^x}
\uput[r](1,4425){$\mathscr{C}_{0.5}$}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{8}{8550*0.8^x}
\uput[r](5,2899){$\mathscr{C}_{0.8}$}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{8}{8550*1^x}
\uput[r](5,8850){$\mathscr{C}_{1}$}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,0)(\n,100000)}
\multido{\n=0+1000}{101}{\psline[linewidth=0.7pt](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=0+5000}{11}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(9,\n)}
\end{pspicture}

\end{center}
\item \og{}Le calcul des $R$ est important pour évaluer la situation épidémiologique dans un département ou une région. Depuis le début de l'épidémie de Covid- 19 en France, le ministère de la Santé ne cesse de répéter que l'objectif est que le taux de reproduction du virus descende en-dessous de 1.\\
Le \og{}1\fg{} est ainsi le point de vigilance.\\
Un R supérieur à 1 signifie que le virus recommence à circuler et donc que l'épidémie progresse. \fg{}\\
 \hfill \emph{Aurélie Blaize - 30 octobre 2020 - sante.journaldesfemmes.fr}\\

\bigskip
Justifier les propos de l’article en s’appuyant sur les propriétés des suites géométriques et les observations des courbes construites dans la question précédente.

\item %En quoi un taux de reproduction significativement en dessous de 1 assure une disparition de l’épidémie ?
Si $R<1$, le nombre de contaminés diminue rapidement et devient vire inférieur à 1, donc il n'y a plus de contaminés.

\item Le confinement imposé fin octobre a permis de faire passer le R sous le point de vigilance.\\
Dans ce contexte, dessiner l’allure que pourrait prendre le nuage de points entre le 5 septembre et le 31 décembre.\\

\bigskip
Avec $R=0.8$, on obtiendrait :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.0002,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-5000)(9,50000)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=5000]{->}(0,0)(0,-1)(9,50000)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,0)(\n,50000)}
\multido{\n=0+1000}{51}{\psline[linewidth=0.7pt](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=0+5000}{11}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(9,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,8550)(1,6840)(2,5472)(3,4377)(4,3502)(5,2801)(6,2241)(7,1793)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\label{fin}
\end{document}  
