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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur le modèle exponentiel}}\end{center}




\subsection{}
Une population a une évolution exponentielle. Cette population est de \numprint{12550} individus en 2010 et de \numprint{18072} individus en 2012.\\
On note u(n) la population de cette ville à l’année 2010 + n.

\begin{enumerate}
\item %Donner la nature de la suite u et déterminer sa raison.
La suite $u$ est géométrique de raison $q$.\\
On a $u(2)=u(0)q^2$ donc $\numprint{18072}=\numprint{12550}q^2$.\\
On en déduit $q^2=\dfrac{18072}{12550}=1,44$ donc $q=\sqrt{1,44}=1,2$ : $\boxed{\textcolor{red}{q=1,2}}$

\item %Quel est le taux de variation annuel de cette population ? 
Le taux de variation $t$ vérifie $q=1+t$ donc $t=q-1=\boxed{\textcolor{red}{0,2=20\:\%}}$ .

\item %Donner une estimation de la population en 2020.
2020 correspond à $n=10$.\\
On peut estimer la population en 2020 à $u(10)=u(0)\times q^{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{77706}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Perruches à collier}}
La perruche à collier est une espèce originaire d’Afrique centrale et occidentale, d’Asie, d’Inde et du Pakistan. Elle a été importée en Europe comme oiseau domestique mais certains individus de cette espèce se sont échappés des conteneurs de transport et ont commencé à nicher près des zones aéroportuaires. Ainsi, on commence à en signaler en Île-de-France à partir de 1990. Différents comptages ont permis d’obtenir les résultats suivants :

$\begin{array}{|*{5}{l|}}\hline
\text{année}& 2006& 2008& 2012& 2014\\
\hline
\text{ population}& 500& \numprint{1050}& \numprint{2700}& \numprint{5000}\\
\hline
\end{array}$

%Dans \og{}Dynamique de population de la perruche à collier Psittacula krameri introduite en Île-de-France\fg{}\footnote{Source : http ://perruche-a-collier.fr/images/PDF/ALauda2015perruches-IDF.pdf, p. 169}, les auteurs écrivent : \og{}on observe une tendance de type exponentiel\fg{}.\\
%Déterminer si cette affirmation est justifiée ou non.
Ici, il faut prendre garde au fait que les intervalles de temps ne sont pas constants (2 ans puis 4 ans puis 2 ans). On ne peut donc pas calculer les taux de variation.\\
Si on prend comme unité de temps 2 années, l’évolution est exponentielle si la population est multipliée par le même nombre $q$ tous les deux ans. \\
$q =\dfrac{1050}{500} \approx 2,1$,  $q^2 =\dfrac{2700}{10560}$ donc $q\approx1,6$ et $q=\dfrac{5000}{2700}\approx 1,8$.
Avec aussi peu de valeurs, il est difficile de dire si ces valeurs sont relativement constantes ou pas. \\
Si on en prend la moyenne arithmétique de ces trois valeurs, on trouve $\dfrac{2,1+1,6+1,8}{3} = 1,8$.\\
Si on considère la suite géométrique $u$ de premier terme $u(0) = 500$ et de raison $q = 1,8$, on a, pour tout entier n, \[u(n) = 500 \times  1,8^n.\]
Pour $n = 0$ (année 2006), on trouve évidemment $u(0) = 500$, pour $n = 2$ (année 2008), on trouve $u(1) = 900$, pour $n = 3$ (année 2012), on trouve $u(3) \approx 2900$ et, pour $n = 4$ (année 2014), on trouve $u(4) \approx 5250$.

\subsection{\textcolor{blue}{Élimination d'un antibiotique}}
L'amoxicilline est un antibiotique utilisé pour traiter les infections bactériennes cheez un homme adulte.\\
40\:\% de cet antibiotique est éliminé par l'organisme chaque heure.
\begin{enumerate}
\item %Une dose typique étant de 500 mg, décrire à l'aide d'une suite la quantité d'antibiotique non éliminée au cours du temps.
Notons $u(0)=500$ la quantité injectée à l'instant initial ($t=0$) et $u(n)$ la quantité restant au bout de $n$ heures.\\
Chaque heure, 40\:\% de cet antibiotique est éliminé donc il reste à chaque heure 60\:\% de la quantité présente à l'heure précédente.\\
Pour tout $n$, $u(n+1)=60\:\%u(n)=0,6u(n)$.\\
La suite $u$ est donc géométrique de raison $q=0,6$.\\
Alors, pour tout $n$, $u(n)=u(0)\times 0,6^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=500\times 0,6^n}}$

\item %Combien d'heures sont nécessaires dans ce cas pour éliminer 450 g d'amoxicilline ?
Si on  élimine 450 g d'amoxicilline, il en reste 50 mg.\\
On cherche $n$ tel que $500\times 0,6^n\leqslant 50$ donc $0,6^n\leqslant 0,1$ ; on trouve que c'est à partir de 5 heures.

\end{enumerate}


\newpage




\subsection{\textcolor{blue}{Population mondiale}}
Population mondiale de 1950 à 1990 puis de 2000 à 2015 

%\footnotesize
$\begin{array}{|*{4}{l|}}\hline
\text{Année}&\text{Population mondiale}&\text{Taux de variation} (\:\%)&\text{Variation absolue}\\
\hline
1950&\numprint{2525149000}&&	\\
\hline
1955&\numprint{2758315000}&9,23&\numprint{233166000}\\
\hline
1960&\numprint{3018344000}&9,43&\numprint{260029000}\\
\hline
1965&\numprint{3322495000}&10,08&\numprint{304151000}\\
\hline
1970&\numprint{3682488000}&10,84&\numprint{359993000}\\
\hline
1975&\numprint{4061399000}&10,29&\numprint{378911000}\\
\hline
1980&\numprint{4439632000}&9,31&\numprint{378233000}\\
\hline
1985&\numprint{4852541000}&9,3&\numprint{412909000}\\
\hline
1990&\numprint{5309668000}&9,42&\numprint{45712700}\\
\hline
 \multicolumn{2}{c}{\text{\textcolor{red}{Taux moyen en}}\textcolor{red}{ \:\%}}&9,74&\\
\hline\hline
2000&\numprint{6126622000}&&\\
\hline
2005&\numprint{6519636000}&6,41&\numprint{393014000}\\
\hline
2010&\numprint{6929725000}&6,29&\numprint{410089000}\\
\hline
2015&\numprint{7349472000}&6,06&\numprint{419747000}\\
\hline
\multicolumn{2}{c}{\text{\textcolor{red}{Taux moyen en}} \textcolor{red}{\:\%}}&6,25&\\
\hline
\end{array}$
\normalsize

\begin{enumerate}
\item %Pourquoi un modèle exponentiel est-il envisageable entre 1050 et 1990 ?
Un modèle exponentiel est-il envisageable entre 1050 et 1990 car les taux de variation sont assez stables.

\item %En notant $u(n)$ la population en l'année $1950+n$, expliquer pourquoi $u(n+1)\approx 1,0974u(n)$.
La suite $u$ correspondant aux valeurs de la population est géométrique de rayon $q=1+t$, en prenant pour $t$ la valeur moyenne des taux, donc $t=9,74\:\%$.\\
Alors $q=1+9,74\:\%=1,974$.\\
On en déduit $u(n)=u(0)q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=\numprint{2525149000}\times \numprint{1,0974}^n}}$.

\item %Que peut-on envisager entre 2000 et 2015 ?
De même, entre 2000 et 2015, les taux sont stables.\\
On a de même une suite géométrique.\\
$v(n)=v(0)q'^n$ avec $v(0)=\numprint{6126622000}$ et $q'=1+t'=1,0625$

\item %Si on envisage que ce modèle entre 2000 et 2015 continue d'être valable, quelle population mondiale peut-on envisager en 2050 ?
2050 correspond à $n=10$ (car les années vont de 5 en 5).\\
`La population en 2050 serait donc $\boxed{\textcolor{red}{u(10)\approx \numprint{11233380594}}}$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  