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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle d'enseignement scientifique (1 heure)\\
(Intervalles de confiance, méthode CMR)}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}
Une semaine avant une élection un sondage est effectué sur \numprint{1024} personnes choisis au hasard parmi les \numprint{42821} inscrites sur les listes ; 532 déclarent voter pour le candidat.
%Le candidat a-t-il raison de penser qu’il va être élu ?
La taille de l'échantillon est $n=1024\geqslant 30$.\\
La fréquence de gens pensant voter pour lui est $f=\dfrac{532}{1024}=\numprint{0,51953125}\approx 0,52\in[0,2~;~0,8]$.\\
On peut utiliser un intervalle de confiance au seuil 95\:\%.\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[f-\dfrac{1}{32}~;~f+\dfrac{1}{32}\right]\approx\boxed{\textcolor{red}{ [0,488~;~0,551]}}$.\\
$0,5\in I$ ; il n'est pas sûr d'être élu !

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (4 points)}}
Une banque désire savoir si son site est bien adapté au besoin de plus de 5 millions de clients. Elle commande à un institut de sondage une enquête afin d’estimer la proportion de ses clients satisfaits. Elle impose un niveau de confiance de 95\:\% avec une amplitude de 0,04.\\
%Combien de personnes doit au minimum interroger l’institut de sondage ?
On sait que l'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.\\
On doit avoir $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,02$ d'où $\dfrac{1}{n}=0,02^2=\numprint{0,0004}$ qui donne $n=\dfrac{1}{\numprint{0,0004}}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2500}}}$.\\
Il faut interroger au moins 2500 personnes pour avoir une amplitude de 0,04.

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (4 points)}}
%https://www.youtube.com/watch?v=A1iwwskad-M
On désire évaluer le nombre $N$ d'individus d'une espèce animale vivant sur une île. Pour cela, on capture 800 individus, ces individus sont marqués puis relâchés. On recapture ultérieurement \numprint{1000} animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués.
\begin{enumerate}
\item %Estimer la taille $N$ de cette population animale.
Le nombre d'animaux capturés  et marqués est $M=800$ ; le nombre d'animaux recapturés est $n=\numprint{1000}$ ; le nombre d'animaux marqués parmi ceux-ci est $m=250$.\\
$N=M\times \dfrac{n}{m}=800\times \dfrac{1000}{250}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3200}}}$.

\item %Donner l'intervalle de confiance au seuil de confiance de 95\:\% pour la taille de cette population.
la taille de l'échantillon est suffisante ; la fréquence d'individus marqués est $f=\dfrac{250}{1000}=\dfrac{1}{4}=0,25$.\\
$0,25\in[0,2~;~0,8]$.\\
On peut appliquer la formule donnant un l'intervalle de confiance au seuil de confiance 0,95.\\
$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,25-\dfrac{1}{\sqrt{1000}}~;~0,25+\dfrac{1}{1000}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,218~;~0,282]}}$.\\
Or, $f=\dfrac{800}{N}$ donc $N=\dfrac{800}{f}$.\\
Si $0,218\leqslant f\leqslant 0,282$, alors $\dfrac{1}{0,282}\leqslant \dfrac{1}{f}\leqslant \dfrac{1}{0,218}$ d'où \\
$\dfrac{800}{0,282}\leqslant N\leqslant \dfrac{800}{0,218}$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2836}\leqslant N\leqslant \numprint{3670}}}$
\end{enumerate}



\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (3 points)}}%d'après Nouvelle-Calédonie novembre 2014
%Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84\,\%. 
%
%En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces. 
%
%Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\,\% et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ? 
La taille de l'échantillon est $900\geqslant  25$. Parmi ceux-ci, la fréquence de ceux qui consomment de la glace est $f=\dfrac{795}{900}\approx 0,883$.\\
L'intervalle de confiance correspondant, au seuil de confiance 0,95 est :
$I=\left[0,88-\dfrac{1}{\sqrt{900}}~;~0,88+\dfrac{1}{\sqrt{900}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,849~;~0,917]}}$.\\
En 2000, la proportion de gens déclarant manger des glaces est $p=0,84$.\\
$0,84\notin I$ donc \textbf{\textcolor{red}{on ne pas pas affirmer}}, au niveau de confiance de 95\:\%, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre 2000 et 2010.

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill (6 points)}}
%Dans les années 70, un magicien du nom d’Uri Geller, affirmait posséder de vrais pouvoirs surnaturels.\\
%Pour se faire connaitre, il participa à une émission de télévision, au cours de laquelle il présenta plusieurs numéros impressionnants tels que la torsion d’une petite cuiller par la pensée et la communication par télépathie. Il affirma également qu’il avait le pouvoir de faire griller une ampoule de lampe à distance, et ce, à plusieurs endroits en même temps. Au même moment, de nombreuses ampoules s’éteignirent chez les téléspectateurs qui regardaient l’émission.\\
%Uri Geller est alors devenu tellement célèbre que même la CIA l’a convoqué pour observer l’origine et la fiabilité de ses pouvoirs paranormaux.\\ 
%Dès 1972, de nombreux prestidigitateurs décidèrent de démystifier Uri Geller, en reproduisant ses tours à l’identique. Parmi ceux-là, un magicien français désirant rester anonyme intervint à la télévision pour reproduire le tour des  \og{}lampes qui s’éteignent\fg{}.  \\
%Le jeune magicien annonça qu’en se concentrant seulement 5 minutes au début de l’émission, il allait faire griller plusieurs milliers d’ampoules chez les téléspectateurs. Pendant le reste des deux heures d’émission, près de 700 personnes téléphonèrent pour confirmer qu’une ampoule s’était éteinte chez eux. \\
%Pour les lampes à incandescence (dans les années 70), on sait que la fréquence d’ampoules allumées qui grillent sur un intervalle de deux heures est environ 0,0005.

\begin{enumerate}
\item %Sachant que chaque ménage a environ une quinzaine d’ampoule allumées en soirée, montrer que la fréquence $f$ d’ampoules qui grillent par ménage en soirée sur un intervalle de deux heures est \[f= \numprint{0,0075}.\]
La fréquence $f$ d’ampoules qui grillent par ménage en soirée sur un intervalle de deux heures est \[f=0,005\times 15 \numprint{0,0075}.\]

\item On estime qu’environ 2,5 millions de ménages \\
($n=\numprint{2500000}$) regardaient l’émission ce soir-là.\\
%Calculer l’intervalle de confiance à 95\:\% de la fréquence $f$ calculée précédemment, pour cet échantillon. (On arrondira les valeurs obtenues à 4 chiffres après la virgule).
L'intervalle de confiance est $I=\left[0,0075-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500000}}}~;~0,0075+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{2500000}}}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{[\numprint{0,0069}~;~\numprint{0,0081}]}}$.

\item %En déduire un encadrement probable à 95\:\% du nombre $N$ de ménages chez qui  une ampoule a grillé pendant l’émission. 
On a $0,0069\leqslant f\leqslant 0,0081$ avec $f=\dfrac{n}{N}$ où $n$ est le nombre de personnes regardant l'émission chez qui une ampoule a grillé et $N$ le nombre total de personnes ayant regardé l'émission.\\
Ainsi : $\numprint{0,0069}N\leqslant n\leqslant \numprint{0,0081}N$.\\
$N=\numprint{2500000}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{17250}\leqslant n\leqslant \numprint{20250}}}$.\\
On peut donc en conclure avec 95\:\% de certitude, que ce soir-là, entre \numprint{17250} et \numprint{20250} foyers qui regardaient le tour de magie à la télévision ont pu constater qu’une ampoule grillait chez eux pendant les deux heures de l’émission. 



\item %Conclure. Y avait-il réellement besoin de facultés paranormales pour réaliser le tour d’Uri Geller ?  
\textbf{\textcolor{red}{Non}}, avec ou sans tour de magie, des milliers d’ampoules auraient grillé pendant que les téléspectateurs regardaient l’émission. Ainsi, pour réaliser ce tout, il suffisait de le faire sur une émission ayant une large audience. 
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  