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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle  (Hardy-Weinberg, évolutions)}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Les fréquences génotypiques sont :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(\text{NN}) = \dfrac{150}{\numprint{1000}}=\boxed{\textcolor{red}{0,15}}$

\item $f(\text{NF}) = \dfrac{800}{\numprint{1000}} = \boxed{\textcolor{red}{0,8}}$

\item $f(\text{FF}) =\dfrac{ 50}{1000} =\boxed{\textcolor{red}{ 0,05}}$.
\end{enumerate}

\item On en déduit que les fréquences alléliques sont $f(\text{N}) = f(\text{NN}) + \dfrac12f(\text{NF}) = \boxed{\textcolor{red}{0,55}}$ et
$f(F) =1-f(F)=\boxed{\textcolor{red}{0,45}}$.

\item En supposant que la population est à l’équilibre de Hardy-Weinberg, on a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ f(\text{NN}) =f(\text{N})^2 = \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,3025}}}$

\item $f(\text{NF}) = 2f(\text{N})f(\text{F}) = 0,495$ 

\item $f(\text{FF}) = f(\text{F})^2 = \numprint{0,2025}$.
\end{enumerate}

\item On constate que les valeurs théoriques calculées à  la question précédente sont très
différentes des valeurs  calculées à la question 1.\\
On en déduit que la population n’est pas à l’équilibre de Hardy-Weinberg.

\item Comme les volailles sont prélevées dans un élevage, on peut penser qu’il y a une sélection
d’origine humaine pour favoriser les génotypes NF, par exemple, en privilégiant les
accouplements entre individus du génotype NN et du génotype FF.\\
On constate d’ailleurs que la proportion d’animaux de génotype NF est beaucoup plus importante dans
l’échantillon observé que la fréquence théorique calculée dans le cadre du modèle de Hardy-Weinberg.\\
Cela conforte l’idée d’une sélection afin de favoriser ce génotype.

\end{enumerate}

\subsection{}
%$u$ est une suite arithmétique de raison $r$ ; on sait que $u(2)=11$ et $u(5)=26$.\\
%Calculer $u(0)$ et $r$.
Un arbre croît de 5 cm chaque mois. Le 1\ier{} janvier 2019, il mesure 690 cm. On note $h(n)$ la hauteur (en centimètres) de l’arbre, $n$ mois après le 1\ier{} janvier 2019. Ainsi $h(0) = 690$.

\begin{enumerate}
\item %Donner les valeurs $h(1)$ et $h(2)$ des hauteurs de l’arbre au bout d’un et deux mois.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $h(1)=690+5=\boxed{\textcolor{red}{695}}$.

\item $h(2)=695+5=\boxed{\textcolor{red}{700}}$.
\end{enumerate}

\item %Exprimer $h(n+1)$ en fonction de $h(n)$. En déduire la nature de cette suite ; préciser la raison $r$.
Pour tout $n$, $h(n+1)=h(n)+5$ ; on en déduit que la suite $h$ est arithmétique de raison 5 et de premier terme $h(0)=690$.

\item %Quel terme de la suite correspond à la hauteur de l’arbre le 1\ier{} mai 2020 ? Donner sa valeur.
Le 1\ier{} mai 2020 correspond à $n=16$ ; on sait que $h(n)=h(0)=nr=690+5n$ donc $h(416)=590+16\times 5=670$

\end{enumerate}
\subsection{}
Au 1\ier{ } janvier 2013, l'Île de France comptait \numprint{11972082} habitants.\\
Le population d'Île de France subit une augmentation annuelle moyenne de 0,4\:\%.
\begin{enumerate}
\item %Estimer la population d'Île de France au 1\ier{} janvier 2014.
Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 0,4\:\% est $\boxed{\textcolor{red}{C=1+\dfrac{0,4}{100}=1,004}}$.\\
Au 1\ier{} janvier 2014, la population est $\numprint{11972082}\times 1,004\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{12019970}}}$

\item %Estimer la population d'Île de France au 1\ier{} janvier 2018.
Le 1\ier{} janvier 2018 correspond à $n=5$. La population d'Île de France au 1\ier{} janvier 2018 est alors\\
$11972082\times 1,004^5\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{12213447}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
En janvier 2019, une entreprise renouvelle son parc de tablettes tactiles. La tablette
choisie affiche une autonomie de 8 heures. Une étude montre que l’autonomie de la batterie baisse
de 15\:\% chaque année d’utilisation. Soit $n$ un entier naturel, on modélise le nombre d’heures d’autonomie de
cette tablette pour l’année $2019 + n$ par une suite $\left(a(n)\right)$.

\begin{enumerate}
\item %Que vaut $a(0)$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{a(0)=8}}$.

\item %Déterminer l’autonomie de la batterie en 2020 puis en 2021.
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15\:\% est $C=1-\dfrac{15}{100}=\boxed{\textcolor{red}{0,85}}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item En 2020, l'autonomie est $8\times C=8\times 0,85=\boxed{\textcolor{red}{6,8}}\text{ h}$

\item En 2021, elle est de $6,8\times 0,85=\boxed{\textcolor{red}{5,78}}\text{ h}$
\end{enumerate}

\item %Exprimer $a(n+1)$ en fonction de $a(n)$.
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{a(n+1)=0,85a(n)}}$ ; $a$ est donc une suite géométrique, de raison $q=0,85$.

\item %Déterminer l’autonomie de la batterie en 2023.
$a(n)=a(0)q^n=8\times 0,85^n$ ; 2023 correspond à $n=4$ ; $a(4)=\approx 4,176\text{ h}$	.

\item %Déterminer à l’aide d’une calculatrice l’autonomie de la batterie en 2030.
2030 correspond à $n=11$ ; $a(11)\approx 1,34\text{ h}$, soit environ 1 h 20 min.

\end{enumerate}


\subsection{}
Le tableau suivant donne la population d'une ville nouvelle entre les années 1970 et 2000. 

\begin{center}\begin{tabular}{|l|*{7}{c|}}\hline 
Année & 1970 & 1975 & 1980 & 1985 & 1990 & 1995 & 2000\\ \hline 
Rang de l'année $x$ & 0 & 5 & 10 &15 & 20 & 25 & 30\\ \hline 
Population en milliers & & & & & & & \\ 
d'habitants $y$ & 18& 21& 25& 30& 36&42& 50\\ \hline 
\end{tabular} \end{center} 

\noindent Le nuage de points associé à ce tableau est représenté graphiquement ci-dessous ;  le rang $x$ de l'année est en abscisse et la population $y$ en ordonnée. 


\begin{enumerate} 
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve qu'une équation de la droite d'ajustement affine est \\
$y = 1,06 x + 15,75$ (coefficients arrondis au centième).\\
%
La droite est tracée sur le graphique.

\item %Estimer graphiquement la population en 1998
1998 correspond au rang 28 ; on lit sur le graphique une population d'environ \fbox{\textcolor{red}{45 milliers}}.

\item %En utilisant l'équation de cette droite d'ajustement, donner une estimation de la population en 2003, à un millier près. 
2003 correspond à $x=33$.\\
On remplace $x$ par 33 dans l'équation : $1,06\times 33 + 15,75=\boxed{\textcolor{red}{50,73}}$.\\
La population en 2003 devrait être d'environ 50,73 milliers.

\end{enumerate} 


\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,algebraic=true} 
\begin{pspicture}(35,55) 
\multido{\d=0+1}{36}{\psline(\d,0)(\d,55)} 
\multido{\d=0+5}{8}{\psline[linewidth=1.5pt](\d,0)(\d,55)} 
\multido{\n=0+1}{56}{\psline(0,\n)(35,\n)}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(35,\n)}
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(35,55)
\psaxes[Dx=5,Dy=5,linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(35,55) 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,18)(5,21)(10,25)(15,30)(20,36)(25,42) (30,50)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{35}{1.06*x + 15.75}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=blue](28,45)
\end{pspicture}

\end{center}\label{fin}
\end{document}  


\label{fin}
\end{document}  