\documentclass{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
  \usetheme{Copenhagen}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,bclogo}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}


\usepackage{enumerate}
\usepackage{pgf}

\usepackage{times}

\usepackage{graphicx}

  \title{\textcolor{red}{Modèles démographiques}}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}

  \begin{frame}
\begin{block}
{Rappels}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{Si une quantité évolue d’une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ , on définit :
\pause

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la variation absolue de cette quantité par $V_f - V_i$ ;
\pause


\item la variation relative de cette quantité par $\dfrac{V_f - V_i}{V_i}$
\end{enumerate}
}
  \end{block}
  \end{frame}

  \begin{frame}
\begin{block}
{Exemple : Si la population d’un pays évolue de 2 millions à 2,2 millions alors la variation absolue est \\
$2,2 - 2 = 0,2$ millions et la variation relative est $\dfrac{2,2-2}{2}= 0,1$.
}
  \end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}
{\textbf{\textcolor{red}{Rappel sur les équations réduites de droites}}\\
Dans un repère, une droite sécante à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $y=ax+b$ ; \\

\pause
$a$ est le coefficient directeur et $b$ est l'ordonnée à l'origine.\\
\pause

$b$ est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 0.\\
\pause

Si $A\left(x_A~;~y_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B\right)$ sont deux points de la droite, le coefficient directeur vaut : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{Exemple : soient $A(2~;~5)$ et $B(5~;~-7)$.\\
\pause

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient directeur est :

\pause

$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-7-5}{5-2}=\dfrac{-12}{3}=-4$.\\
\pause

L'équation. de la droite est de la forme $y=-4x+b$.\\
\pause

$A$ appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient cette équation : 
\pause
$5=-4\times 2+b=-8+b$ donc $b=5+8=13$.\\
\pause

L'équation réduite de la droite $(AB)$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=-4x+13}}$
\end{enumerate}
}
 \end{block}
  \end{frame}

  \begin{frame}
\begin{block}{Graphique}
{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-10)(10,22)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-10)(10,22)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-10)(10,22)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{5}{-4*x+13}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](2,5)(5,-7)
\end{pspicture}
\end{center}
}
  \end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{red}{Modèle linéaire}}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{On considère l’évolution d’une population d’une ville sur plusieurs années. Les valeurs données sont exprimées en milliers et arrondies à l’unité.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&2015&2016&2017&2018&2019&2020\\
\hline
Population&48&51&54&57&60&63\\
\hline
\end{tabularx}}
  \end{block}
  
\pause
\begin{block}
{Voir exercice I de la feuille}
  \end{block}
  \end{frame}


\begin{frame}
\begin{block}
{Modèle linéaire, suites numériques}
\end{block}
\pause
\begin{block}
{On considère 2015 comme l’année 0 et on note $u(n)$ la population à l’année $n$.\\
\pause

Ainsi, $u(0) = 48$, $u(1) = 51$, $u(2) = 54$, $u(3) = 57$, $u(4) = 60$ et $u(5) = 63$.\\
\pause

Si on calcule les variations absolues d’une année sur l’autre, on trouve :
$u(1)-u(0) = 3$~;~ $u(2)-u(1) = 3$~;~ $u(3)-u(2) = 3$~;~ $u(4)-u(3) = 3$ et  $u(5)-u(4) = 3$.\\
\pause

Ainsi constate-t-on que les variations absolues sont \textbf{constantes} égales à 3.\\}
\end{block}

\pause

\begin{block}
{On dit qu’une quantité $u$ dépendant d’un entier naturel $n$ a une variation linéaire si sa variation absolue $u(n + 1) - u(n)$ a une valeur constante $a$ (c’est-à-dire une valeur $a$ qui ne dépend pas de $n$).}
  \end{block}
  \end{frame}

  \begin{frame}
\begin{block}
{La suite des valeurs $u(n)$ est alors appelée une \textbf{suite arithmétique} de \textbf{raison} $a$.}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{Si une suite de valeurs $u(n)$ est une suite arithmétique de raison $a$ alors :
\pause

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les points de coordonnées $(n~;~u(n))$ sont alignés sur une droite dont le coefficient directeur est $a$ ;
\pause


\item Pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u(n) = u(0) + na}}$.

\end{enumerate}}
  \end{block}
  \end{frame}
  
  
  \begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{red}{Droite d'ajustement linéaire}}
  \end{block}
  
\pause
\begin{block}
{Dans la réalité, les variations absolues ne sont jamais ou rarement constantes. On considère cependant que le modèle linéaire est adapté si les variations absolues varient peu. Cela se traduira par le fait que les points de coordonnées $(n, u(n))$ ne sont pas parfaitement alignés mais \textbf{\textcolor{red}{approximativement}} alignés. Dans ce cas, on peut rechercher une droite qui représenterait au mieux cet alignement approximatif. Cette droite est appelée la \textbf{\textcolor{red}{droite d’ajustement linéaire}} du nuage de points.\\
L'équation d'une telle droite se trouve à la calculatrice ou avec un tableur.}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{Voir exercice II de la feuille}
  \end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}
{Le tableau suivant donne la moyenne $y$ des \textbf{maxima} de tension artérielle en fonction de l'âge $x$ d'une population donnée. 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{7}{c|}}
\hline
\text{åge } x_{i}&36&42&48&54&60&66\\
\hline
\text{Tension } y_{i}&12&13,5&12,6&14,3&15.4&15\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}{Nuage}
{Voilà le nuage de points.
\begin{center}
\psset{xunit=0.3,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(27,9.5)(68,16)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=blue,Dx=2,Dy=1,Ox=30,Oy=10]{->}(30,10)(30,10)(68,16)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](30,10)(68,16)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=blue](36,12)(42,13.5)(48,12.6)(54,14.3)(60,15.4)(66,15)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,48)(5,63)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{30}{66}{0.107*x + 8.360}
\end{pspicture}
\end{center}}
  \end{block}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}
\begin{block}
{
À la calculatrice, on trouve que la droite d'ajustement a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y = 0,107x + 8,360}}$.
\pause
Pour cela, aller dans menu STATS, Edit, puis rentrer les données dans les listes $L1$ et $L2$.
\pause
Puis dans ce même menu STATS, aler dans CALC puis reglin(ax+b)

\pause

En utilisant cet ajustement, la tension maximale à 70 ans serait $0,107\times 70+8,360\approx \boxed{\textcolor{red}{15,85}}$.
\pause


La tension artérielle théorique (15,85) est donc inférieure à celle de cette personne de 70 ans (16,1) .
}
  \end{block}
  \end{frame}
\label{fin}
\end{document}  